3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичной формой двух переменных называется однородный многочлен второй степени относительно двух переменных

Покажем, как квадратичную форму можно записать в матричной форме. Прежде всего запишем квадратичную форму в виде

полагая .

Матрица

называется матрицей квадратичной формы.

Введя матрицу-столбец и матрицу-строку , легко убедиться, что квадратичную форму (124) можно записать следующим образом в матричной форме:

Действительно, по правилу умножения матриц последовательно находим:

Будем трактовать переменные и как координаты точек в прямоугольной системе координат . Рассмотрим новую прямоугольную систему координат Пусть координаты точек в старой и новой системах связаны между собой формулами преобразования (113)

с ортогональной матрицей преобразования . Формулы преобразования (113) можно записать в следующей матричной форме (см. п. 2):

Здесь

Если вместо в квадратичную форму (124) подставим их выражения (113) через то получим квадратичную форму переменных

Поставим перед собой задачу: выбрать новую систему координат так, чтобы в квадратичной форме отсутствовал член с произведением координат, иными словами, чтобы она приняла следующий вид:

который называется каноническим.

Для сокращения записи преобразования будем проводить в матричной форме.

Рассмотрим прежде всего матрицу-строку . Легко убедиться, что имеет место следующее равенство:

Действительно, так как (см. п. 2), то

Но так как на основании равенств

Подставим в правую часть равенства (126) для выражения X и X из равенств (127) и (129):

Итак, в новой системе координат матрица квадратичной формы

имеет следующий вид:

Выберем теперь новую систему координат так, чтобы матрица А приняла следующую форму:

В этом случае говорят, что матрица приведена к диагональному виду. При этом квадратичная форма запишется в виде (128).

Итак, новую систему координат надо выбрать таким образом, чтобы матрица L преобразования удовлетворяла соотношению

Умножим обе части этого равенства слева на матрицу

Итак, матрица L преобразования удовлетворяет условию

Так как

и

то

Отсюда, на. основании определения равенства матриц, получаем:

или

и

Таким образом, неизвестные коэффициенты преобразования находятся из систем уравнений (130) и (131). Каждая из этих систем является однородной. Для того чтобы они имели отличные от нуля решения, необходимо и достаточно (см. § 2, п. 4), чтобы определитель каждой из этих систем был равен нулю:

Таким образом, числа являются корнями квадратного уравнения

или

Дискриминант D этого квадратного уравнения всегда неотрицателен. Действительно,

Итак, уравнение (132) всегда имеет действительные корни. Уравнение (132) называется характеристическим уравнением матрицы . Корни этого уравнения называются собственными значениями матрицы А. Подставляя найденные из уравнения (132) значения и в системы (130), (131) и решая их, найдем коэффициенты преобразования координат

Замечание 1. Квадратичная форма трех переменных имеет вид

Матрицей этой квадратичной формы называется матрица третьего порядка

в которой . Матрица А в этом случае называется симметрической.

Квадратичную форму трех переменных можно привести к виду

где числа всегда действительны и удовлетворяют характеристическому уравнению

Замечание 2. Матрице квадратичной формы соответствует в системе координат линейное отображение

При переходе к новой системе координат с матрицей преобразования линейное отображение будет иметь вид

Матрица нового отображения связана с матрицей А соотношением (см. п. 2).

Если за новую систему координат выбрать ту, в которой квадратичная форма то в этой системе координат, как было показано выше, матрица A имеет вид и формулы линейного преобразования (98) в системе координат запишутся следующим образом:

или

Рассмотрим в новой системе координат точки Очевидно, что . В силу формул (134) образами точек будут соответственно точки Вектор будет образом вектора а вектор - образом вектора

Итак, при линейном отображении (134) векторы и преобразуются в соответственно коллинеарные векторы и

Если при некотором линейном отображении существует не равный нулю вектор , образом которого является коллинеарный ему вектор , то вектор называется собственным вектором этого линейного отображения, а число К—собственным значением отображения. Таким образом векторы и являются собственными векторами линейного отображения (134).