3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний

Макеты страниц

3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний

Рассмотрим следующую задачу. Материальная точка (груз) массы подвешенная к концу пружины, движется по вертикальной прямой. Требуется определить закон движения груза.

Примем, что в положении равновесия вес груза уравновешивается упругой силой пружины. Поместим начало координат в положение равновесия груза, а ось направим вертикально вниз по прямой, вдоль которой движется груз. Положение груза в произвольный момент времени t определяется отклонением у груза от начала координат (рис. 276). Для нахождения закона движения груза надо определить зависимость отклонения у от времени

Рис. 276

На груз действуют следующие силы.

1) Восстанавливающая сила стремящаяся вернуть груз в начальное положение. Сила направлена вдоль оси и ее проекция на эту ось пропорциональна отклонению груза от положения равновесия:

Число k называется коэффициентом восстановления Знак «минус» в выражении проекции силы указывает на то, что восстанавливающая сила направлена в сторону, противоположную деформации пружины.

2) Сила сопротивления среды, в которой находится пружина с грузом, направлена противоположно вектору скорости движения груза. Величина силы как показывает опыт, пропорциональна величине скорости v груза. Поэтому проекция силы на ось запишется в виде

Силу веса груза мы не учитываем, так как она уравновешивается упругой силой пружины, а весом самой пружины пренебрегаем.

Для составления дифференциального уравнения движения груза воспользуемся вторым законом Ньютона:

Здесь а — вектор ускорения и - сумма действующих на материальную точку сил.

В нашем случае на материальную точку (груз) действуют две силы направленные вдоль оси Проектируя векторы, стоящие в обеих частях равенства (73), на ось и замечая, что проекция вектора ускорения а на ось равна получаем искомое дифференциальное уравнение

или

Уравнение (74) является уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и называется уравнением свободных колебаний.

Если на груз, кроме того, действует внешняя «возмущающая» сила, направленная вдоль оси Оу, величина которой есть заданная функция времени t, то уравнение (74) принимает вид

и называется уравнением вынужденных колебаний.

Разделив обе части уравнения (75) на и введя обозначения

получим уравнение вынужденных колебаний в следующей окончательной форме

Уравнение (76) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения.

1) Пусть отсутствуют сопротивление среды и внешняя возмущающая сила . В этом случае уравнение (76) примет вид

Уравнение (77) является уравнением свободных колебаний груза при отсутствии сопротивления среды. Характеристическое уравнение имеет корни и общее решение уравнения (77) запишется в форме

Введем вместо произвольных постоянных новые произвольные постоянные связанные с постоянными соотношениями

Отсюда выражаются следующим образом:

Подставляя выражения в равенство (78), получим

Итак, общее решение уравнения (77) можно представить в виде

Эта формула показывает, что груз совершает простое периодическое движение, которое называется гармоническим колебанием. Период колебания (см. гл. XI, § 6, п. 1). Величина со называется собственной частотой колебания. Величина N представляет собой наибольшее отклонение груза от положения равновесия и называется амплитудой колебания; называется начальной фазой.

2) Пусть теперь имеет место сопротивление среды но по-прежнему отсутствует внешняя возмущающая сила . В этом случае уравнение (76) имеет вид

Его характеристическое уравнение имеет корни

Рассмотрим практически наиболее интересный случай малого сопротивления, когда . В этом случае корни будут комплексными: , где . Общее решение уравнения (79) имеет вид

Отсюда видно, что груз будет совершать колебания, амплитуда которых стремится к нулю при Такие колебания называются затухающими.

Заметим, что при корни характеристического уравнения будут действительными и различными. Общее решение уравнения (79) в этом случае имеет вид

В этом случае груз, не совершая колебаний, приближается к положению равновесия (при ). Это же обстоятельство имеет место и при

3) Рассмотрим теперь случай, когда сопротивление среды отсутствует но на груз действует внешняя периодическая возмущающая сила . В этом случае уравнение движения (76) примет вид

Общее решение этого уравнения, как известно, есть сумма частного решения у неоднородного уравнения (80) и общего решения Y соответствующего однородного уравнения (77)

Общее решение уравнения (77) было найдено выше и имело вид

Найдем теперь частное решение уравнения (80).

Допустим сначала, что частота (А внешней периодической возмущающей силы отлична от собственной частоты колебаний со. Так как в этом случае не является корнем характеристического уравнения , то согласно правилу п. 2 этого параграфа частное решение у следует искать в форме

Дифференцируя у два раза и подставляя выражения для у и в уравнение (80), найдем выражение для коэффициентов А и В:

Таким образом, частное решение уравнения (80) будет иметь вид

а общее решение этого уравнения

Из формул (81) следует, что если частота внешней возмущающей силы близка к собственной частоте колебаний пружины и, то разность близка к нулю и амплитуда колебания резко возрастает.

Если же частота внешней возмущающей силы совпадает с собственной частотой то формула (81) становится неприменимой.

Так как при этом является корнем характеристического уравнения , то согласно правилу п. 2 частное решение уравнения (80) в этом случае следует искать в форме

Подставляя у и в уравнение (80) и учитывая, что найдем значения коэффициентов А и В:

Поэтому частное решение у будет иметь вид

Общее решение уравнения (80) запишется следующим образом:

Наличие множителя t во втором члене указывает на то, что амплитуда колебания с течением времени неограниченно возрастает.

График функции изображен на рис. 277 для случая .

В этом случае говорят, что имеет место резонанс. Итак, резонанс при колебательном движении наступает в том случае, если собственная частота колебаний совпадает с частотой внешней силы.

Рис. 277

Рис. 278

К линейным дифференциальным уравнениям второго порядка приводят также явления, связанные с изменением силы тока в цепи.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из омического сопротивления , самоиндукции L, емкости С, к которой подключен источник электродвижущей силы, изменяющейся с течением времени по известному закону: (рис. 278). Определим, как изменяется сила тока в цепи в зависимости от времени t. Обозначим через падения напряжения соответственно на участках цепи.