4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени

Применим рассмотренное в п. 2 этого параграфа правило умножения матриц к так называемому матричному способу записи уравнений. Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу системы

и матрицы-столбцы неизвестных и свободных членов

Очевидно, что

Данную систему (95) можно записать, пользуясь определением равенства матриц (п. 2), следующим образом:

или, короче,

Равенство (96) называется матричным уравнением.

Если система (95) записана в форме матричного уравнения (96) и матрица А системы невырожденная, то решается это уравнение следующим образом. Умножим обе части уравнения (96) на матрицу , обратную матрице A:

Используя сочетательный закон умножения матриц, можно написать

Но так как , то получаем решение матричного уравнения в виде

Пример. Решить матричным способом систему уравнений

Решение. В матричной форме эта система запишется в виде . Здесь

Матрица была найдена в п. 3 и имела вид

Решение системы записываем в виде (97): , или

Отсюда, на основании определения равенства матриц, следует:

Непосредственной проверкой убеждаемся, что эти значения неизвестных удовлетворяют данной системе.