§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближенных вычислениях. Укажем на наиболее важные из этих применений.

1. Вычисление значений функций с помощью рядов

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной степенью точности. Предположим, что функцию можно разложить в степенной ряд

на интервале ) и что точка принадлежит данному интервалу. Тогда

Взяв достаточное число первых членов ряда, получим приближенное равенство

Точность этого равенства увеличивается с возрастанием . Абсолютная погрешность этого приближенного равенства, т. е. равна модулю остатка ряда:

где

Желая вычислить значение функции с точностью мы должны взять сумму такого числа первых членов, чтобы

С методами оценки остатка ряда мы познакомились в § 1, п. 7. Приведем еще один метод оценки остатка ряда с помощью остаточного члена ряда Тейлора (или Маклорена).

Если функция разложена в степенной ряд, то, как мы знаем, этот ряд есть ряд Тейлора или Маклорена (см. § 3, п. 4). В этом случае абсолютная погрешность, т. е. равна модулю остаточного члена ряда Тейлора (или Маклорена).

Таким образом,

где с содержится между . В зависимости от каждого конкретного случая применяется тот или иной метод оценки остатка ряда.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001 число е.

Решение. Как известно, для любого х имеет место разложение (93)

При х = 1 получим

Взяз первые членов, получим приближенное равенство

Оценим погрешность приближения с помощью остаточного члена ряда Маклорена. Так как , то

где с лежит между 0 и . При имеем

Принимая во внимание, что (см. гл. V, § 1, п. 8), получим

Поэтому для достижения требуемой точности достаточно взять . Итак, с точностью до 0,001 имеем

Каждое слагаемое выпишем с одним дополнительным знаком, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления слагаемых:

Следовательно, с точностью до .

Пример 2. Вычислить с точностью до .

Решение. Для имеем разложение (94), справедливое при всех значениях к:

Переводя 18° в радианы, получим Следовательно,

Ряд (104) знакочередующийся, члены которого убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю. Поэтому его остаток не превосходит первого отброшенного члена (см, § 1, п. 7). Так как , то с точностью до 0,0001 получим

Все вычисления проводим с одним дополнительным знаком, полагая . Так как , то

Итак, .