§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций

1. Дифференцирование сложных функций

Пусть дана функция двух переменных , причем аргументы этой функции являются функциями одной независимой переменной . Тогда есть сложная функция одной независимой переменной . Поставим задачу найти производную этой сложной функции зная частные производные и производные . При решении этой задачи мы будем предполагать, что функции имеют производные в точке t, а функция двух переменных в соответствующей точке дифференцируема.

Пусть независимая переменная t получает приращение ; тогда переменные х и у получат соответственно приращения , а функция — приращение . Так как функция по предположению дифференцируема, то ее полное приращение может быть представлено в следующем виде:

причем

Разделив обе части равенства (29) на и переходя к пределу при получим

Если каждый из пределов, стоящих в правой части этого равенства, существует, то существует и предел, стоящий в левой части этого равенства, т. е. производная Но существуют по предположению.

Найдем

Рассмотрим сначала

Этот предел существует, так как существуют производные . Прежде чем находить отметим, что при также Но тогда и, следовательно,

Учитывая это, формулу (30) можно записать в следующем виде:

Пример 1. Найти производную, если Решение. Применяя формулу (31), получим

Рассмотрим теперь функцию при условии, что Здесь переменная есть функция одной переменной Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет По формуле (31) имеем

Но и поэтому

В правой и левой частях этой формулы имеются производные по Одна из них — частная производная функции двух переменных , которая находится так, как если бы у не зависел от . В отличие от нее производная стоящая в левой части формулы (32), есть производная сложной функции одной переменной Эту производную мы будем называть полной производной.

Предположим теперь, что , причем . Тогда z будет сложной функцией двух независимых переменных . Найдем частные производные этой сложной функции

Частные производные находятся так, как если бы и были функциями одной переменной . Но тогда можно пользоваться формулой (31), заменив в ней производные, соответствующими частными производными: и

Аналогично можно получить выражение для

Полученные результаты легко обобщаются на случай сложной функции любого конечного числа аргументов.

В частности, для функции трех переменных имеем

Пример 2. Убедиться, что функция , где удовлетворяет соотношению:

Решение. Находим и

Теперь имеем

что и требовалось доказать.