§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим некоторые типы [интегралов, содержащих иррациональные выражения.

1. Интегралы вида

Интегралы вида

где — целое число, - рациональное выражение относительно могут быть сведены к интегралам от рациональных функций.

В самом деле, сделаем в интеграле (23) замену переменной, положив тогда

Следовательно,

Интеграл, стоящий в правой части равенства, есть интеграл от рациональной функции относительно переменной интегрирования и, следовательно, может быть найден приемами, изложенными в § 3.

Пример 1. Найти

Решение. Здесь . Полагаем , откуда

Следовательно,

Таким образом, мы свели наш интеграл к интегралу от рациональной функции.

Подставляя вместо его выражение через имеем

Пример 2. Найти

Решение. Приводя в подынтегральном выражении радикалы к одному показателю, убеждаемся, что оно рационально зависит от и от

Здесь поэтому полагаем Отсюда

Следовательно,

Интегралы более общего вида:

где R — рациональное выражение от к интегралам от рациональной функции подстановкой