13. Смешанное произведение трех векторов

Рассмотрим теперь произведение векторов а, b и с, составленное следующим образом:

Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный вектор a x b умножается скалярно на третий вектор с. Такое произведение называется векторно-скалярным, или смешанным произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой, очевидно, некоторое число.

Найдем выражение для смешанного произведения через проекции перемножаемых векторов.

Определим сначала a x b:

Так как , то используя формулу (69) для скалярного произведения, получим:

Легко видеть, что полученное выражение является разложением определителя

по элементам третьей строки. Итак,

Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, у которого в первой строке стоят проекции первого перемножаемого вектора, во второй строке—проекции второго вектора и в третьей строке—проекции третьего вектора.

Поэтому

Аналогично можно получить следующие формулы:

Для краткости смешанное произведение будем обозначать иногда . В этих обозначениях предыдущие формулы можно записать следующим образом: