2. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Предположим, что функция у от х задана параметрически уравнениями (73)

причем в некоторой области изменения параметра t функции дифференцируемы и .

Найдем производную Как мы знаем Так как то

Таким образом,

Формула (78) позволяет находить производную функции, заданной параметрически.

Пример 1. Найти производную функции у от заданной параметрическими уравнениями

Решение. По формуле (78) получим

Пример 2. Найти уравнения касательной и нормали к циклоиде

в точке соответствующей значению параметра

Решение. Находим координаты точки касания :

Для того чтобы найти угловые коэффициенты касательной и нормали, находим по формуле (78) производную

Находим угловой коэффициент касательной к циклоиде в точке

и угловой коэффициент нормали

Пользуясь уравнением прямой, проходящей через данную точку,

нетрудно теперь получить уравнение касательной

и уравнение нормали

С помощью формулы (78) можно находить и производные высших порядков функций, заданных параметрически.

Покажем, как найти вторую производную . По определению второй производной . Учитывая, что по формуле (78) находится как некоторая функция параметра мы видим, что при нахождении мы должны рассматривать как функцию, заданную параметрически:

Поэтому — находится по формуле (78), в которой вместо у следует подставить

Пример 3. Найти вторую производную функции у, заданной параметрически:

Решение. В примере 1 была найдена первая производная Рассматривая эту производную как функцию, заданную параметрически:

найдем по формуле (79) вторую производную