2. Точка пересечения прямой с плоскостью

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

с плоскостью

Для этого нужно совместно решить систему уравнений (27) и (28). Проще всего это сделать с помощью параметрических уравнений прямой:

Каждому значению параметра t соответствует точка прямой. Нужно выбрать такое значение t, при котором точка прямой будет лежать на плоскости (28).

Подставляя из уравнений (29) в уравнение плоскости (28), получим уравнение, из которого найдем значение параметра

или

Если прямая и плоскость не параллельны друг другу, т. е. если , то из равенства (30) найдем значение

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью, Рассмотрим теперь случай, когда . Как мы знаем, это условие означает, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой перпендикулярны друг другу. Здесь возможны два случая:

а) . Это значит, что точка прямой не лежит в плоскости Так как, кроме того, то прямая и плоскость параллельны друг другу и, следовательно, не имеют ни одной общей точки. Этот же результат непосредственно следует соотношения (30), которое, очевидно, не выполняется ни при каком значении параметра t.

б) . Это значит, что точка прямой лежит в плоскости Так как, кроме того, векторы N и s перпендикулярны то отсюда заключаем, что прямая лежит в данной плоскости. Этот же результат можно получить и из соотношения (30), которое при условиях примет вид и удовлетворяется при любом значении

Таким образом, одновременное выполнение равенств

дает условие того, что прямая — лежит в плоскости

Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью

Решение. Запишем уравнения данной прямой в параметрическом виде:

Подставим эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости:

Отсюда Подставляя в параметрические уравнения прямой получаем: Итак, точкой пересечения прямой с плоскостью будет точка М (3; 2; 7).