7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

Поставим задачу найти уравнение прямой, если известны ее угловой коэффициент k и точка через которую эта прямая проходит (частный случай задачи мы решали в п. 2, когда точка лежала на оси ординат).

Напишем уравнение прямой с угловым коэффициентом (2)

Здесь неизвестен свободный член b. Но мы можем найти его, зная, что точка лежит на искомой прямой и, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:

Отсюда

Подставив найденное значение b уравнение (2), полечим

или

Уравнение (15) есть искомое. Оно называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку.

Пример 1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой у

Решение. Искомая прямая по условию параллельна данной прямой. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой k равен угловому коэффициенту данной прямой: Пользуясь уравнением (15) прямой, проходящей через данную точку, и учитывая, что в этом уравнении следует положить получим

или

Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Решение. Уравнение данной прямой можно записать в форме откуда следует, что ее угловой коэффициент Угловой коэффициент искомой прямой, перпендикулярной к данной, связан с коэффициентом условием . Следовательно, Теперь остается воспользоваться уравнением (15) прямой, проходящей через данную точку, положив в нем

После упрощений получим