3. Обратная матрица

Рассмотрим теперь так называемую обратную матрицу, понятие которой вводится только для квадратной матрицы.

Если А—квадратная матрица, то обратной для нее матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию

Можно доказать, что если выполняется равенство (90), то одновременно выполняется и равенство

Приведем теперь следующую основную теорему.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что для матрицы A существует обратная матрица . Покажем, что в этом случае матрица А должна быть невырожденной, т. е. ее определитель . Действительно, если бы , то определитель произведения

Но это невозможно в силу равенства (91), из которого следует, что

Достаточность. Для простоты проведем доказательство для случая матрицы третьего порядка.

Пусть

невырожденная матрица, т. е. ее определитель

Покажем, что в этом случае существует обратная матрица.

В самом деле, пусть -алгебраическое дополнение элемента Матрица обратная матрице A, получается следующим образом.

1) Составим матрицу В, заменяя в матрице А каждый ее элемент его алгебраическим дополнением деленным на определитель матрицы А:

2) Составим новую матрицу В, поменяв местами в матрице В ее строки и столбцы. (Матрица В называется транспонированной матрицей по отношению к матрице В.)

Покажем, что матрица В является обратной матрице A. Для этого составим произведение

На основании формул (15) и (17) следует, что матрица, стоящая в правой части равенства (92), является единичной. Таким образом,

откуда следует, что . Итак,

и, следовательно, обратная матрица существует.

Составим матрицу, обратную матрице второго порядка

Здесь .

В таком случае

и

Пример. Найти матрицу, обратную матрице

Решение. Определитель этой матрицы

Так как то матрица А — невырожденная, и, следовательно, существует обратная ей матрица.

Вычисляем алгебраические дополнения:

Составляем матрицу

Меняя местами строки и столбцы в этой матрице, получим матрицу

Предоставляем читателю проверить, что действительно

Докажем, что определители матрицы Л и ее обратной матрицы обратны по величине:

Действительно, из формулы (90) имеем

Применяя формулы (88) и (89), получим:

откуда