3. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

Правая часть уравнения (11) представляет собой произведение двух множителей, каждый из которых является функцией только одного аргумента.

Например, уравнение у — есть уравнение с разделяющимися переменными, так как в нем можно принять

Точно так же, уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

Напротив, уравнение нельзя представить в виде (11), и, следовательно, оно не является уравнением с разделяющимися переменными.

Метод интегрирования уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем. Перепишем уравнение (11) в виде

Если уравнение (11) представлено в виде (12), то говорят, что в нем разделены переменные.

Допустим, что мы нашли решение уравнения (12). Если эту функцию подставим в (12), то это уравнение обратится в тождество и, интегрируя его, получим

Перенося в правую часть равенства и обозначая получим

где С — произвольная постоянная.

Выражение (13) представляет собой общий интеграл уравнения (12). Пример 1. Решить уравнение

Решение. Разрешая уравнение относительно получим или . Разделяя переменные, находим .

Интегрируя, получаем , где произвольная постоянная. Для упрощения полученного решения воспользуемся часто применяемым приемом; положим тогда откуда или . Полагая окончательно получим

где С — произвольная постоянная. Геометрически полученное общее решение (14) представляет собой семейство равносторонних гипербол. Пусть требуется из найденного общего решения выделить частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Заменяя в и у начальными данными, получим соотношение из которого найдем

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Приведем теперь решение уравнения (2) задачи 1 п. 1. Уравнение (2) имело вид

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные в уравнении, получим

Интегрируя, находим:

Итак,

Формула (15) дает общее решение уравнения (2). Для выделения частного решения используем начальное условие: . Таким образом, , откуда . Итак, частное решение будет иметь вид

Это решение содержит неизвестный множитель k. Для его определения используем второе дополнительное условие: при температура тела . Тогда

откуда логарифмируя, находим

Таким образом, искомое решение уравнения (2) будет

Итак,

Для ответа на вопрос, через сколько времени тело охладится до , получаем уравнение

откуда

Логарифмируя, находим

Рассмотрим теперь некоторые уравнения, которые с помощью несложных преобразований приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.