3. Интегралы вида

В этом пункте мы рассмотрим общий метод нахождения интегралов вида

где — рациональное выражение относительно . Такими интегралами, например, являются интегралы

Наоборот, интеграл не является интегралом указанного вида, так как под интегралом стоит функция, не рациональная относительно .

Покажем, что всякий интеграл вида можно свести к интегралу от рациональной функции. Для этого вместо введем новую переменную z, связанную с переменной z соотношением

Тогда выразятся рационально через . В самом деле, применяя формулы, известные из тригонометрии, имеем

Аналогично

Наконец, учитывая, что найдем . Итак, если положить то

(22)

Формулы (22) показывают, что рационально выражаются через z. Подставляя выражения через , получим

Последний интеграл является интегралом от рациональной функции переменной и может быть вычислен методами, рассмотренными в § 3.

Пример 1. Найти

Решение. Полагая и применяя формулы (22), имеем

Пример 2. Найти

Решение. Полагая находим

Итак,

Эти формулы рекомендуется запомнить.

Хотя подстановкой интеграл всегда приводится к интегралу от рациональной функции, но очень часто это ведет к слишком громоздким вычислениям. Поэтому во многих случаях целесообразнее пользоваться другими методами нахождения этого интеграла. Так, например, если где — целые числа, то удобнее пользоваться методами, изложенными в п. 1.

Укажем еще на один частный случай функции , при котором применением другой подстановки значительно сокращают вычисления.

Рассмотрим интеграл от функции, рационально зависящей только от

Этот интеграл можно взять заменой переменной В самом деле, так как то

Подынтегральное выражение в последнем интеграле является рациональной функцией от .

Пример 3. Найти

Решение. Сделаем замену переменной, положив Тогда Следовательно,

Пример

Замечание. Такой же подстановкой берутся интегралы если входят только в четных степенях. Это следует из того, что выражаются рационально через