§ 4. Интегрирование тригонометрических функций

1. Интегралы вида , где — целые числа

Рассмотрим вначале случай, когда одно из чисел или нечетно. В этом случае интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций. Сущность метода интегрирования ясна из следующих примеров.

Пример 1. Найти

Решение. Замечая, что сделаем замену переменной, положив . Это дает и, следовательно, так как получим

Пример 2, Найти

Решение. Так как , то полагая , получим и

Замечание. Этот же метод применим и в том случае, когда одно из чисел или нечетно и положительно, а другое — любое действительное число.

Пример 3 Найти

Решение. Имеем: Полагаем Тогда Следовательно,

Пусть теперь оба показателя — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю). Заменяя по формулам

мы добьемся того, что произведение заменится суммой произведений подобного вида, но с меньшими показателями степеней. Метод интегрирования ясен из следующих примеров.

Пример 4. Найти .

Решение. Имеем

Пример 5. Найти

Решение. Имеем

Замечание. Как мы знаем, первообразные от одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Это обстоятельство следует иметь в виду (особенно при интегрировании тригонометрических функций), так как в зависимости от метода интегрирования мы можем получать различные по форме ответы.

Так, например, . Но, с другой стороны,

Таким образом, являются первообразными для одной и той же функции и, как легко видеть, отличаются друг от друга на постоянное слагаемое:

Для дальнейшего изучения методов интегрирования тригонометрических функций нам понадобятся новые понятия, изложенные в следующем пункте.