4. Необходимый признак сходимости ряда

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера .

Доказательство. Пусть дан сходящийся ряд

имеющий сумму S. Рассмотрим его частичные суммы

и

Отсюда Следовательно,

Но , так как при . Поэтому

Итак,

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера , то ряд обязательно расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по предыдущей теореме его общий член обязан был бы стремиться к нулю, что противоречит условию. Например, для ряда

Общий член

Так как , то ряд расходится.

Условие является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным. Это означает, что существуют расходящиеся ряды, для которых .

Примером может служить ряд

Здесь . Однако легко показать, что этот ряд расходится.

Для этого рассмотрим частичную сумму ряда

Так как , то очевидно, что

Отсюда непосредственно следует, что

и, следовательно, ряд расходится.