Макеты страниц
§ 12. Производные гиперболических функций
В гл. V, § 2, п. 7 были введены гиперболические функции.
Найдем их производные. Так как 
то
Здесь при дифференцировании 
мы воспользовались формулой дифференцирования сложной функции: 
Итак,
Аналогично находится производная гиперболического косинуса:
Производную гиперболического тангенса находим как производную частного:
Но так как 
Аналогично находится производная гиперболического котангенса:
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
Оглавление
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
-
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
-
2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой
-
3. Абсолютная величина действительного числа
-
4. Расстояние между двумя точками на прямой
-
§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
-
2. Расстояние между двумя точками на плоскости
-
3. Деление отрезка в данном отношении
-
4. Координаты точки в пространстве
-
5. Расстояние между двумя точками в пространстве
-
§ 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
-
2. Полярные координаты
-
3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами
-
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
-
2. Понятие функции
-
3. График функции
-
4. Способы задания функций
-
5. Основные элементарные функции и их графики
-
6. Сложные функции. Элементарные функции
-
7. Целые и дробно-рациональные функции
-
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции
-
§ 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
-
2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам
-
§ 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
-
2. Поворот осей координат
ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
-
§ 1. ПРЯМАЯ
-
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
-
3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат
-
4. Общее уравнение прямой и его частные случаи
-
5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению
-
6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
-
7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
-
8. Пучок прямых
-
9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
-
10. Расстояние от точки до прямой
-
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
-
2. Окружность
-
3. Эллипс
-
4. Гипербола
-
5. Парабола
-
6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
-
7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена
-
8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат
-
9. График дробно-линейной функции
-
10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат
ГЛАВА III. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
-
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
-
2. Определитель третьего порядка
-
3. Понятие об определителях высших порядков
-
§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
-
2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
-
3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
-
4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
-
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
-
2. Линейные операции над векторами
-
4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси
-
5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
-
6. Направляющие косинусы вектора
-
7. Условие коллинеарности двух векторов
-
8. Скалярное произведение
-
9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов
-
10. Косинус угла между двумя векторами
-
11. Векторное произведение
-
12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
-
13. Смешанное произведение трех векторов
-
14. Геометрический смысл смешанного произведения
-
15. Условие компланарности трех векторов
-
§ 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
-
2. Равенство матриц. Действия над матрицами
-
3. Обратная матрица
-
4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
-
2. Преобразование координат
-
3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
-
4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
-
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
-
2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
-
3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
-
4. Построение плоскости по ее уравнению
-
5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
-
6. Точка пересечения трех плоскостей
-
§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
-
2. Общие уравнения прямой
-
3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
-
4. Канонические уравнения прямой
-
5. Уравнения прямой, проходящей через две точки
-
6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
-
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
-
2. Точка пересечения прямой с плоскостью
-
3. Расстояние от точки до плоскости
-
4. Пучок плоскостей
-
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
-
2. Цилиндрические поверхности
-
3. Конические поверхности
-
4. Поверхность вращения
-
6. Гиперболоиды
-
7. Параболоиды
ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
-
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
-
2. Предел функции при х -> -оо
-
3. Предел функции при х->х0
-
4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции
-
5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями
-
6. Основные теоремы о пределах
-
7. Предел функции при x -> 0
-
8. Последовательность. Число e
-
9. Натуральные логарифмы
-
10. Сравнение бесконечно малых функций
-
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
-
2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций
-
3. Свойства функций, непрерывных на сегменте
-
4. Понятие об обратной функции
-
5. Обратные тригонометрические функции
-
6. Показательная и логарифмическая функции
-
7. Понятие о гиперболических функциях
ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
-
1. Приращение аргумента и приращение функции
-
2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции
-
3. Задачи, приводящие к понятию производной
-
4. Определение производной и ее механический смысл
-
5. Дифференцируемость функции
-
6. Геометрический смысл производной
-
7. Производные некоторых основных элементарных функций
-
8. Основные правила дифференцирования
-
9. Производная обратной функции
-
10. Производные обратных тригонометрических функций
-
11. Производная сложной функции
- § 12. Производные гиперболических функций
-
13. Производная степенной функции с любым показателем
-
14. Сводная таблица формул дифференцирования
-
15. Неявные функции и их дифференцирование
-
16. Уравнения касательной а нормали к кривой
-
17. Графическое дифференцирование
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
-
1. Нахождение производных высших порядков
-
2. Механический смысл второй производной
-
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
-
2. Производная как отношение дифференциалов
-
3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций
-
4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
-
5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
-
6. Дифференциалы высших порядков
-
§ 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
-
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
-
§ 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
-
2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная
-
3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой
-
4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента
-
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
-
2. Теорема Ролля
-
3. Теорема Лагранжа
-
4. Правило Лопиталя
-
§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
-
2. Максимум и минимум функции
-
3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной
-
4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
-
5. Применение теории максимума и минимума к решению задач
-
6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
-
7. Асимптоты графика функции
-
8. Общая схема исследования функции и построение ее графика
-
§ 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
-
2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных
-
§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
-
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
-
2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
-
3. Таблица основных интегралов
-
4. Основные свойства неопределенного интеграла
-
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
-
2. Интегрирование методом замены переменной
-
3. Интегрирование по частям
-
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
-
2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби
-
3. Интегрирование простейших рациональных дробей
-
4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
-
5. Метод неопределенных коэффициентов
-
6. Интегрирование рациональных дробей
-
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
-
2. Рациональные функции двух переменных
-
3. Интегралы вида
-
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
-
2. Интеграл вида
-
3. Интегралы видов
-
4. Интегралы вида
-
§ 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
-
2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
-
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
-
2. Задача о работе переменной силы
-
§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
-
2. Свойства определенного интеграла
-
3. Производная интеграла по переменной верхней границе
-
4. Формула Ньютона—Лейбница
-
5. Замена переменной в определенном интеграле
-
6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
-
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
-
2. Вычисление площади в полярных координатах
-
3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
-
4. Объем тела вращения
-
5. Длина дуги кривой
-
6. Дифференциал дуги
-
7. Площадь поверхности вращения
-
8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм
-
§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
-
2. Вычисление кривизны
-
3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
-
4. Эволюта и эвольвента
-
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
-
2. Интегралы от разрывных функций
-
3. Признаки сходимости несобственных интегралов
-
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
-
2. Метод трапеций
-
3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона)
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
-
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
-
2. График функции двух переменных
-
3. Функции трех и большего числа переменных
-
§ 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва
-
2. Непрерывность функции нескольких переменных
-
3. Понятие области
-
4. Точки разрыва
-
5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
-
§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
-
2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
-
3. Частные производные высших порядков
-
§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
-
2. Полный дифференциал функции
-
3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям
-
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций
-
2. Инвариантность формы полного дифференциала
-
3. Дифференцирование неявных функций
-
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
-
2. Производная по направлению
-
3. Градиент
-
4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности
-
5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
-
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
-
2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
-
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
-
2. Двойной интеграл. Теорема существования
-
3. Свойства двойного интеграла
-
4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
-
5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
-
6. Приложения двойного интеграла
-
§ 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
-
2. Тройной интеграл и его свойства
-
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
-
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
-
5. Приложения тройного интеграла
-
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
-
2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
-
3. Вычисление криволинейного интеграла
-
4. Формула Остроградского — Грина
-
5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
-
6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу
-
7. Криволинейный интеграл по длине дуги
ГЛАВА XI. РЯДЫ
-
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
-
2. Геометрическая прогрессия
-
3. Простейшие свойства числовых рядов
-
4. Необходимый признак сходимости ряда
-
5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
-
6. Знакопеременные ряды
-
7. Остаток ряда и его оценка
-
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
-
2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства
-
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
-
2. Свойства степенных рядов
-
3. Ряды по степеням разности х-а
-
4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
-
5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
-
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
-
2. Приближенное вычисление интегралов
-
§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
-
2. Числовые ряды с комплексными членами
-
3. Степенные ряды в комплексной области
-
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
-
2. Ряд Фурье
-
3. Сходимость ряда Фурье
-
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
-
5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l
ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
-
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
-
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
-
3. Уравнения с разделяющимися переменными
-
4. Однородные уравнения
-
5. Линейные уравнения
-
6. Уравнение в полных дифференциалах
-
7. Особые решения
-
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
-
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
-
2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
-
3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
-
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
-
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
-
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
-
4. Метод вариации произвольных постоянных
-
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
-
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
-
3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний
-
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
-
2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
-
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
-
§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
-
2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
-
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
-
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ