3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны

Мы видели, что кривизна к окружности есть величина, обратная ее радиусу

Чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. По аналогии вводится понятие радиуса кривизны кривой в данной точке.

Определение. Радиусом кривизны R в данной точке кривой называется величина, обратная кривизне

Так как кривизна кривой, вообще говоря, изменяется при переходе от данной ее точки к другой, то и радиус кривизны является переменной величиной.

Если кривая задана уравнением то ее радиус кривизны как величина, обратная кривизне, определяется следующей формулой:

Если же кривая задана параметрически, то ее радиус кривизны выражается формулой

Пример. Найти радиус кривизны кривой в точке М (1; 0).

Решение. Находим . По формуле (78) получим

Построим теперь в данной точке М кривой отрезок МР, направленный по нормали к кривой в сторону ее вогнутости и равный по величине радиусу кривизны кривой в точке М:

(рис. 201). Окружность с центром в точке Р и радиусом, равным радиусу кривизны кривой в данной точке , называется кругом кривизны. Центр Р этого круга называется центром кривизны. Очевидно, данная кривая и ее круг кривизны в точке М имеют общую касательную (рис. 201).

Рис. 201

Рис. 202

Покажем, как найти координаты центра кривизны кривой, заданной уравнением .

Пусть - точка данной кривой и - соответствующий ее центр кривизны (рис. 202). Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид

Так как точка лежит на нормали, то ее координаты удовлетворяют этому уравнению:

Кроме того, расстояние между точками равно радиусу кривизны R кривой:

откуда

Решая совместно систему уравнений

и заменяя R его выражением по формуле (78), найдем

Предположим для определенности, что . Тогда кривая вогнута и (см. рис. 202), т. е. в правой части формулы (80) для следует взять знак «плюс», и, следовательно, в правой части формулы для - знак «минус». При этом, поскольку для координат центра кривизны мы получим следующие формулы:

Можно показать, что в случае формулы (81) сохраняют свой вид.