6. Уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Это уравнение первого порядка, так как из него следует, что . Допустим, что - функции непрерывные вместе со своими частными производными и в некоторой области G. Если левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции , т. е.

то уравнение (25) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано следующим образом:

Его общий интеграл имеет вид

Как известно (см. гл. X, § 3, п. 6), для того чтобы выражение было полным дифференциалом в односвязной области G, необходимо и достаточно, чтобы в области G тождественно выполнялось равенство

Если это условие выполняется, то функция находится следующим образом (гл. X, § 3, п. 6, формула (53)):

Следовательно, общий интеграл дифференциального уравнения (25) запишется так:

Здесь - произвольная фиксированная точка области G. Пример 1. Проинтегрировать уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Здесь Проверяем выполнение условий (29):

Таким образом, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Находим его общий интеграл по формуле (31), полагая для упрощения вычислений :

Выполняя интегрирование, находим общий интеграл данного уравнения: