8. Основные правила дифференцирования

Установим правила, по которым можно было бы находить производные суммы, произведения и частного функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя.

Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах.

Теорема I. Если функции дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:

Доказательство. Рассмотрим функцию . Приращению аргумента соответствуют приращения

функций и и и. Тогда функция у получит приращение

Следовательно,

Так как по предложению функции и и v дифференцируемы, то

и, следовательно, .

Итак,

Замечание. Формула (23) легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых:

Пример 1. Найти производную функции Решение. Применяя вначале формулу (24), а затем формулы (16), (21) и (20), получим

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:

Доказательство. Пусть

Если получит приращение то функции и, v и у будут иметь соответственно некоторые приращения причем

Следовательно,

Так как при фиксированном постоянны, то их можно вынести за знак предела. Поэтому

Кроме того,

так как функция v по условию дифференцируема, а следовательно, и непрерывна, и поэтому

Таким образом,

Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:

Действительно, если (с — постоянная), то по формуле (25)

В частности, можно выносить за знак производной множитель, равный —1, что равносильно вынесению за знак производной знака

На этом основании можно получить формулу для производной разности двух функций:

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. По формулам (25), (18) и (22) получим

Пример 3. Найти производную многочлена Решение. Применяя последовательно формулы (24), (26), (16) и (15), получим

Замечание. Формулу (25) можно обобщить на случай любого конечного числа сомножителей. Если, например, , то

В самом деле,

Теорема 3. Если в данной точке функции дифференцируемы и , то в той точке дифференцируемо и их частное причем

Доказательство. Пусть — приращение аргумента а — соответствующие приращения функций . Тогда функция будет иметь приращение

Следовательно,

или

Мы считали, что вследствие предположения о дифференцируемости, а следовательно, и непрерывности функции у.

Пример 4. Найти производную функции .

Решение. Представив данную функцию в виде частного

получим по формуле (29):

Таким образом,

При этом условие выполняется для любого принадлежащего области определения функции

Аналогично выводится формула для производной функции :

Рекомендуем читателю вывести ее самостоятельно.