4. Однородные уравнения

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно записать в виде

где правая часть есть функция только от отношения переменных

Например, уравнения — однородные уравнения.

Уравнение — также однородное, так как деля числитель и знаменатель правой части на получим

В частности, уравнение, записанное в виде , будет однородным, если есть отношение двух однородных многочленов одной и той же степени

В однородном уравнении (16) переменные, вообще говоря, не разделяются. Однако оно легко может быть преобразовано в уравнение с разделяющимися переменными.

С этой целью введем новую функцию , положив

Дифференцируя (17), находим

Подставляя выражения (17) и (18) в уравнение (16), придадим ему вид

В полученном уравнении переменные разделяются. Действительно,

и предполагая, что , получим

Выполняя интегрирование, получим

Найдя интеграл в правой части (19) и возвращаясь к первоначальному переменному у, получим общее решение однородного уравнения (16).

Пример. Проинтегрировать уравнение Решение. Запишем уравнение в виде

Делая подстановку получаем

В полученном уравнении переменные разделяются:

Интегрируя, имеем

откуда

Положим тогда . Возвращаясь к функции у, получим