3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой

Выясним направление вектора . Вектор коллинеарный вектору направлен по секущей (рис. 142). Когда тонка неограниченно приближается к точке М, а секущая неограниченно приближается к касательной L к кривой С в точке М.

Отсюда следует, что вектор направлен по касательной к годографу радиуса-вектора

Найдем уравнения касательной к пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями (80), в некоторой ее точке соответствующей значению параметра

Эта касательная есть прямая, проходящая через точку . Поэтому ее уравнения можно записать в следующей форме (см. гл. IV, § 2, п. 4):

где — проекции направляющего вектора прямой. Так как вектор

направлен по касательной к кривой в точке то его проекции могут быть приняты за проекции направляющего вектора:

Тогда искомое уравнение касательной примет следующий вид:

Определение. Нормальной плоскостью к пространственной кривой называется плоскость, перпендикулярная к касательной прямой и проходящая через точку касания.

Пусть - точка касания. Выведем уравнение нормальной плоскости, проходящей через эту точку. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку имеет вид

где А, В и С — проекции вектора — нормального к этой плоскости (см. гл. IV, § 1, п. 2). Но из определения нормальной плоскости вытекает, что за вектор N можно принять вектор Поэтому

В таком случае искомое уравнение нормальной плоскости запишется в следующей форме:

Пример. Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к винтовой линии

в точке соответствующей значению параметра

Решение. Находим координаты точки касания:

Находим проекции вектора

По формулам (85) и (86) находим уравнения касательной прямой

и нормальной плоскости

или