4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси

Пусть -некоторая ось, а АВ — вектор, произвольно расположенные в пространстве. Обозначим через проекции на ось соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 65). Предположим, что имеет координату — координату на оси

Определение, Разность между координатами проекций конца и начала вектора АВ на ось l называется проекцией вектора А В на эту ось.

Если вектор АВ образует с осью l острый угол, то и проекция положительна; если угол между осью и вектором АВ — тупой, то и проекция отрицательна. Наконец, если вектор АВ перпендикулярен оси l, то и проекция равна нулю (рис. 66).

Проекцию вектора АВ на ось l будем обозначать следующим образом:

Рассмотрим некоторые основные теоремы о проекциях.

Рис. 66

Теорема 1, Проекция вектора а на ось l равна модулю вектора а, умноженному на косинус угла между вектором и осью:

Доказательство. Проекция вектора не изменится при любом его переносе параллельно самому себе, так как при этом изменяются на одно и то же число.

Рис. 67

Рис. 68

Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда начало вектора совпадает с началом 0 оси l (рис. 67). Так как координата начала равна нулю, то

где — координата проекции конца вектора. По определению косинуса откуда

или

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

Доказательство. Пусть (рис. 68). Обозначим через координаты проекций на ось l точек А, В и С.

Тогда

Но

Теорема доказана.

Замечание. Эту теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Теорема 3. Если вектор а умножается на число , то его проекция на ось также умнооюается на это число:

(48)

Доказательство. Прежде всего заметим, что если вектор составляет с осью угол и число , то вектор имеет то же направление, что и вектор а, и составляет с осью также угол . Если же , то направление вектора А, а противоположно направлению вектора а и вектор составляет с осью угол . На основании теоремы 1 имеем:

Следствие. Проекция разности двух векторов на ось равна разности проекций этих векторов на ту же ось.

Доказательство предоставляем читателю.

Определение. Произведение проекции вектора на ось l на единичный вектор 1° этой оси называется составляющей вектора а по оси

Обозначив эту составляющую символом по определению получим

или

где — координаты проекций на ось l соответственно начала А и конца В вектора а - АВ.

Нетрудно заметить, что

В самом деле, модули обоих векторов равны расстоянию между точками Направлены эти векторы также одинаково, так как направление каждого из них либо совпадает с положительным направлением оси l (если ) либо противоположно ему (если )

Таким образом, составляющая вектора по оси есть вектор, соединяющий проекцию начала вектора с проекцией его конца.