5. Разложение вектора на составляющие по осям координат

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг (рис. 69). Отнесем к каждой из осей единичный вектор, направление которого совпадает с положительным направлением оси. Так, оси Ох отнесем единичный вектор i, оси — единичный вектор j и оси Oz - единичный вектор .

Эти три взаимно перпендикулярных единичных вектора называются ортами.

Рис. 69

Рассмотрим некоторый вектор а в пространстве. Перенесем его параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат О.

Другими словами, отложим от начала О вектор ОМ, равный . Проводя через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям, получим параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ.

Из рис. 69 и из определения суммы нескольких векторов находим:

Так как

Векторы являются составляющими вектора по осям

На основании (49) можем написать:

Обозначая проекции вектора на оси соответственно через из (52) и (53) получаем

Формула (54) дает разложение вектора а на составляющие по координатным осям.

Пусть точка М — конец вектора имеет координаты х, у, z. В таком случае по формуле (46) проекции вектора по осям, очевидно, будут а составляющие по осям — Формула (54) разложения вектора на составляющие примет вид

Если вектор а имеет проекции на оси координат соответственно , то мы будем это записывать следующим образом:

Если известно разложение векторов по осям координат, то линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их проекциями.

Пример. Даны векторы

Найти их сумму и разность.

Решение. Так как при сложении векторов их проекции складываются, а при вычитании вычитаются, то

Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. Так как вектор является диагональю параллелепипеда, то на основании известной теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать

но . Поэтому

откуда

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Рассмотрим теперь вектор АВ, начало которого имеет координаты , а конец . По определению проекции вектора на ось находим, что вектор АВ будет иметь следующие проекции:

Поэтому на основании формулы (54) получаем следующее разложение вектора АВ по осям координат:

По формуле (57) находим модуль вектора

Эта формула совпадает с выведенной ранее (гл. I, § 2, п. 5) формулой для расстояния между двумя точками А и В.