2. Тройной интеграл и его свойства

Пусть в пространстве задана область, объем которой равен V. Пусть в каждой точке Р этой области определена функция . Выполним теперь следующие действия.

1. Разобьем тело на малых тел причем

2. В каждом из малых тел выберем произвольную точку Умножим значение функции в точке, на объем малого тела, которому принадлежит точка

3. Составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой.

4. Рассмотрим предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа малых тел и при стягивании каждого из них в точку. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области V на малые тела ни от выбора в каждом из них точки то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают так:

Таким образом,

Возвращаясь к п. 1, заключаем, что масса тела V равна тройному интегралу от переменной плотности , т. е.

Мы видим, что тройной интеграл является непосредственным обобщением двойного интеграла на случай, когда областью интегрирования является тело трех измерений. Так же, как и в случае двойного интеграла, имеет место теорема существования тройного интеграла, которую приводим без доказательства.

Теорема существования. Для всякой функции , непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей объем V, существует тройной интеграл, т. е. существует предел интегральной суммы при неограниченном увеличении числа малых тел при условии, что каждое из них стягивается в точку. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла, т. е.

2. Тройной интеграл от суммы нескольких функций равен сумме тройных интегралов от слагаемых, т. е.

3. Если в области интегрирования , то

4. Еслм в области интегрирования , то

5. Теорема о среднем значении. Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области V, то в этой области существует такая точка что

где - объем области

6. Свойство аддитивности. Если область интегрирования V разбита на k частей то

В заключение этого пункта отметим, что если в области V подынтегральная функция то тройной интеграл численно равен объему области, т. е.

Это следует из того, что в данном случае т. е. любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.