ДОПОЛНЕНИЯ

Дополнение 1. СПОСОБ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

При обработке наблюдений приходится решать системы «нестрогих», так называемых условных уравнеппй вида

или

в которых число уравнений превышает число неизвестных.

Надо найти такие значения пеизвестпых х, у(х, у и z), которые наилучшим образом удовлетворяют совокупности уравнений. Так как наблюдения, использованные для составления этих уравнений, содержат неизбежные погрешности, то каждое уравнение является пестрогим. Обозначив эту погрешность уравнения через можно написать уравнение (28) в виде

В способе наименьших квадратов предполагается, что наилучшими или наиболее вероятными значениями неизвестных будут такие, которые придадут сумме квадратов меньшее значение. Этот способ описан во многих книгах; его элементарное обоснование подробно изложено в книге автора «Что и как наблюдать на небе» (М.: Наука, — 5-е изд., 1979, с. 279). Не вдаваясь в подробности, укажем, как пользоваться этим способом на практике.

Из совокупности условных уравнений составляются нормальные уравнения, число которых равно числу неизвестных (при двух неизвестных псобходимы два нормальпых уравнения, а при трех неизвестных — три и т. д.). Чтобы получить первое нормальное уравнение, умножают каяодое из условных уравнений на свой коэффициент при первой неизвестной и суммируют все результаты умпожений.

Затем умножают каждое условное уравнение на свой коэффициент при втором неизвестном и тоже суммируют все результаты. Так получается второе нормальное уравнение. Если неизвестных три, то умножают каждое условное уравнение на свой коэффициент с, - при третьем неизвестном и суммируют результаты. Так получается третье нормальное уравнение.

Применяются следующие обозначения:

сумма произведений на т. е. обозначается

сумма произведений на т. е. обозначается и т. д.

Таким образом, при двух неизвестных имеем два нормальных уравнения

и

а при трех неизвестных — три нормальных уравнения

и

Эти уравнения решают обычными приемами элементарной алгебры. После подстановки найденных вероятнейших значений неизвестных в условные уравнения находят остатки характеризующие точность исходных данных наблюдений.

Численные примеры применения способа наименьших квадратов приведены в §§ 32 и 37,