§ 103. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ. ТЕОРЕМА ГЮЙГЕНСА

Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

Рис. 278

Проведем через центр масс С тела произвольные оси , а через любую точку О на оси — оси , такие, что (рис. 278). Расстояние между осями обозначим через d. Тогда по формулам (3) будет:

Но, как видно из рисунка, для любсй точки тела Подставляя эти значения в выражение для и вынося общие множители за скобки, получим

В правой части равенства первая сумма равна , а вторая — массе тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формул (1) для координат центра масс

Так как в нашем случае точка С является началом координат, то и, следовательно, Окончательно получаем

Формула (9) выражает следующую теорему Гюйгенса: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.

Из формулы (9) видно, что Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс.

Теорема Гюйгенса позволяет найти момент инерции тела относительно данной оси и в том случае, когда известен его момент инерции относительно любой оси параллельной При этом надо знать расстояния каждой из этих осей от центра масс тела. Тогда, зная мы по формуле (9) определяем а затем по той же формуле находим искомый момент инерции

Задача 119. Определить момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс.

Решение. Проведем через конец А стержня ось (см. рис. 275; ось на нем не показана). Тогда по формуле (9)

В данном случае где l — длина стержня, а величина определяется формулой (6). Следовательно,

Задача 120. Определить момент инерции цилиндра относительно оси проходящей через его образующую (см. рис. 277, б).

Решение. По теореме Гюйгенса . В данном случае , а по формуле . Подставляя эти значения, получим