§ 143. ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которые действуют силы Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов точек системы получит элементарное приращение . Поскольку, согласно равенству (106), , а при рассматриваемом перемещении изменяется только координата (остальные сохраняют постоянные значения), то вычисляется как частный дифференциал и, следовательно,

Используя это равенство и формулу (42) из § 87, вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим Получим

Вынося общий множитель за скобки, найдем окончательно

где обозначено

По аналогии с равенством определяющим элементарную работу силы F, величину называют обобщенной силой, соответствующей координате

Сообщая системе другое независимое возможное перемещение, при котором изменяется только координата , получим для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение

где

Величина представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате , и т. д.

Очевидно, что если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении определится равенством

Формула (112) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы и величины будут представлять собой обобщенные активные силы системы.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Так как произведение а следовательно, и имеет размерность работы, то

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q — линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q — угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в и имеет размерность момента; если q — объем (например, положение поршня в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в и имеет размерность давления, и т. д.

Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).

Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (108), (110), что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при и дает искомую величину . Аналогично вычисляются

Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перечещрется по гладкой наклонной плсскссти, а груз В весом — по шероховатой горизолтальной плоскости, коэффициент трения о которую равен

Рис. 366

Рис. 367

Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити и блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы положение определяется координатой (положительное направление отсчета показано стрелкой). Для определения сообщаем системе возможное перемещение при котором и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил остальные силы работы не совершают. Так как то

Следовательно,

Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изображенной на рис. 367. Однородный стержень А В имеет длину l и вес Р и может вращаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес . Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии а жесткость — с.

Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарика вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных координат выберем угол и расстояние шарика от конца ненапряженной пружины положительные направления отсчета координат показаны стрелками.

Сообщаем сначала системе возможное перемещение, при котором угол получает приращение . На этом перемещении работу совершают» силы . По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что направление момента противоположно направлению )

Следовательно,

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая приращение , а угол . На этом перемещении работу совершают сила тяжести и сила упругости, модуль которой Тогда

и

Обобщенная сила имеет в этом случае размерность момента, так как а сила — размерность обычной силы.

Случай потенциальных сил. Если все действующие на систему силы являются потенциальными, то для системы, как известно, существует такая силовая функция U, зависящая от координат точек системы, что сумма элементарных работ действующих сил равна полному дифференциалу этой функции, т. е. [см. § 126, формула (62)]. Но при переходе к обобщенным координатам все могут быть выражены через эти координаты и тогда ). Следовательно, вычисляя 6 U как полный дифференциал от функции найдем, что

Сравнивая это выражение с равенством (112), заключаем, что в данном случае

или, так как потенциальная энергия то

Следовательно, если все действующие на систему силы потенциальны, то обобщенные силы равны частным производным от силовой функции (или взятым со знаком минус частным производным от потенциальной энергии) по соответствующим обобщенным координатам.

Пример 3. Все силы, действующие на систему, изображенную на рис. 367, потенциальны. Если при этом направить координатную ось вертикально вверх, то по формулам (64), (64) из § 127 найдем для всей системы

где обобщенные координаты Тогда

Что совпадает с результатами, полученными в примере 2.