§ 43. КАСАТЕЛЬНОЕ и НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

В § 39 было установлено, что ускорение а точки лежит в соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости Следовательно, проекция вектора а на бинормаль равна нулю Найдем проекции а на две другие оси. Проектируя обе части равенства (10) на оси и обозначая символами проекции вектора на эти оси, получим:

Вектор представляет собой разность между скоростями в двух соседних точках (рис. 123, а), т. е. .

Рис. 123

Отложим векторы от общего начала (рис. 123, б); тогда а фигуру ACBD при бесконечно малом угле можно рассматривать как прямоугольник. Отсюда где — элементарное приращение числового значения скорости. Далее, поскольку предел отношения дуги к хорде равен единице, можно AD рассматривать как элементарную дугу радиуса МА, размер которой определяется произведением радиуса на центральный угол. Тогда Подставляя найденные значения в равенства (18), получим:

Угол между касательными к кривой в двух ее точках называется углом смежности; тогда — элементарный угол смежности. Напомним, что отношение определяет кривизну кривой в точке М, а кривизна k является величиной, обратной радиусу кривизны в этой точке, т. е.

Введем эту величину во второе из равенств (19) и преобразуем его, учтя еще равенство (17), к виду

В результате окончательно получим:

Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) s по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Это одна из важных теорем кинематики. Величины называют касательным и нормальным ускорениями точки.

При движении точки М в одной плоскости касательная поворачивается вокруг бинормали с угловой скоростью Тогда второе из равенств (19) дает еще одну, часто используемую в инженерной практике формулу для вычисления

Из нее следует, что нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории.

Отложим вдоль касательной и главной нормали векторы т. е. касательную и нормальную составляющие ускорения (рис. 124). При этом составляющая будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой, так как всегда а составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси в зависимости от знака проекции (см. рис. 124, а, б).

Рис. 124

Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих

Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а и угол , его отклонения от нормали определятся формулами:

где — при вектор а отклонен от нормали в сторону (рис. 124, а), а при — в противоположную сторону (рис. 124, б).

Таким образом, если движение точки зсдако естественным спосо-Сом, то, зная траекторию (а следовательно, и ее радиус кривизны в любой точке) и закон движения, т. е. зависимость можно по формулам (17) и (21), (22) определить модуль и направление векторов скорости и ускорения точки в любой момент времени.