§ 25. РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ

Изучение равновесия тел с учетом трения скольжения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, которое имеет место, когда сила трения равна

При аналитическом решении реакцию шероховатой связи изображают двумя ее составляющими N и

Затем составляют обычные уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство Из полученной таким путем системы уравнений и определяют искомые величины.

Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях, которые может иметь сила трения, т. е. при , то ее тоже можно решить, рассмотрев предельное равновесие и уменьшая затем в полученном результате коэффициент трения до нуля

Отметим еще, что если в задаче надо определить значение силы трения F, когда равновесие не является предельным и то, как уже отмечалось в § 23, эту силу F следует считать неизвестной величиной и находить из соответствующих уравнений (см. вторую часть задачи 29, а также задачи 151, 152, § 130).

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой R, которая в предельном положении равновесия отклонена от нормали к поверхности на угол

Задача 29. Груз весом лежит на горизонтальной плоскости (рис. 77). Определить, какую силу Q, направленную под углом к этой плоскости, надо приложить к грузу, чтобы сдвинуть его с места, если статический коэффициент трения груза о плоскость

Решение. Рассмотрим предельное равновесие груза. Тогда на него действуют силы Составляя условия равновесия в проекциях на оси , получим:

Из последнего уравнения . Тогда

Подставляя это значение в первое уравнение и решая его, найдем окончательно

Рис. 77

Если к грузу приложить меньшую силу, например силу Н, то тогда сдвигающее усилие будет ; максимальная же сила трения, которая может в этом случае развиться, будет . Следовательно, груз останется в покое. При этом удерживающая его в равновесии сила трения F определится из уравнения равновесия в проекции на ось и будет равна сдвигающей силе , а не силе

Обращаем внимание на то, что при всех расчетах следует определять по формуле находя N из условий равновесия. Ошибка, которую часто допускают в задачах, аналогичных решенной, состоит в том, что при подсчетах считают в то время как сила давления на плоскость здесь не равна весу Груза Р.

Задача 30. Определить, при каких значениях угла наклона а груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, если его коэффициент трения о плоскость равен

Решение. Найдем сначала предельное положение равновесия, при котором угол а равен . В этом положении (рис. 78) на груз действуют сила тяжести V, нормальная реакция N и предельная сила трения Строя из перечисленных сил замкнутый треугольник, находим из него, что Но сдругой стороны, Следовательно,

Если в полученном равенстве уменьшать то значение будет тоже уменьшаться. Отсюда заключаем, что равновесие возможно и при Окончательно все значения угла а, при которых груз будет в равновесии, определятся неравенством

Полученный в задаче результат, выражаемый равенством (а), можно использовать для экспериментального определения коэффициента трення, находя угол из опыта.

Заметим еще, что так как где угол трения, то, следовательно, т. е. наибольший угол а, при котором груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, равен углу трения.

Рис. 78

Рис. 79

Задача 31. Изогнутый под прямым углом брус опирается своей вертикальной частью о выступы А и В, расстояние между которыми (по вертикали) h (рис. 79, а). Пренебрегая весом бруса, найти, при какой ширине d брус с лежащим на его горизонтальной части грузом будет находиться в равновесии при любом положении груза. Коэффициент трення бруса о направляющие равен

Решение. Обозначим вес груза через Р, а его расстояние от вертикальной части бруса через I. Рассмотрим предельное равновесие бруса, при котором его ширина Тогда на брус действуют силы Р, N, F, N, F, где — предельные силы трения. Составляя условия равновесия (29) и беря моменты относительно центра А, получаем:

где Из двух первых уравнений находим:

Подставляя эти значения в третье уравнение и сокращая на N, получим

откуда

Если в этом равенстве уменьшать нуля, то его правая часть будет расти до бесконечности. Следовательно, равновесие возможно при любом значении . В свою очередь имеет наибольшее значение, когда Значит брус будет в равновесии при любом положении груза (при 10), если будет выполняться неравенство Чем меньше трение, тем d должно быть больше. При отсутствии трения равновесие невозможно, так как в этом случае получается

Приведем еще геометрическое решение задачи.

При таком решении вместо нормальных реакций и сил трения изображаем в точках А и В полные реакции которые в предельном положении отклонены от нормалей на угол трения (рис. 79, б). Тогда на брус будут действовать три силы RA, RB, Р. При равновесии линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке, т. е. в точке К, где пересекаются силы RA и RB. Отсюда получаем очевидное (см. рис. 79, б) равенство или так как . В результате находим для то же значение, что и при аналитическом решении.

Задача дает пример самотормозящегося устройства, нередко применяемого на практике.

Задача 32. Пренебрегая весом лестницы АВ (рис. 80), найти, при каких значениях угла а, человек может подняться по лестнице до ее конца В, если угол трения лестницы о пол и о стену равен

Решение. Рассмотрим предельное положение равновесия лестницы и применим для решения геометрический метод. В предельном положении на лестницу действуют реакции пола и степы, отклоненные от нормалей к этим плоскостям на угол трепия Линии действия реакций пересекаются в точке К. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р (числеь-но равная весу человека) также должна пройти через точку К? Поэтому в положении, показанном на чертеже, выше точки D человек подняться не может. Чтобы человек мог подняться до точки В, линии действия сил RA и RB должны пересечься где-нибудь на прямой ВО, что возможно лишь тогда, когда сила RA будет направлена вдоль АВ, т. е. когда угол

Следовательно, человек может подняться по лестнице до ее конца тогда, она образует со стеной угол, не превышающий угла трения лестницы о пол. Трение о стену при этом роли не играет, т. е. стена может быть гладкой.

Рис. 80

Рис. 81