§ 109. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Пользуясь теоремой о движении центра масс, можно, зная внешние силы, найти закон движения центра масс, и, наоборот, зная движение центра масс, определить главный вектор действующих на систему внешних сил.

Первой задачей мы занимались в динамике точки. Примеры решения второй задачи рассмотрим ниже.

Теорема позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы ряд наперед неизвестных сил сделать внутренними.

В случаях, когда имеет место закон сохранения движения центра масс, теорема позволяет по перемещению одной части системы найти перемещение другой ее части.

Мы доказали, что когда и в начальный момент времени , то при движении системы const. Пусть для определенности система состоит из трех тел с массами и начальными координатами их центров масс Если под действием внутренних (или внешних) сил тела совершат абсолютные перемещения, проекции которых на ось будут , то соответствующие координаты станут равны . Тогда по формулам (1) координата центра масс всей системы в начальном и конечном положениях определяется равенствами;

Так как то следовательно,

или

Таким образом, когда имеет место закон сохранения движения центра масс вдоль оси то алгебраическая сумма произведений масс (или весов) тел системы на проекции абсолютных перемещений их центров масс должна быть равна нулю, если только в начальный момент времени При вычислении следует всегда учитывать их знаки.

Задача 123. На носу и корме лодки весом сидят на расстоянии l друг от друга два человека весом каждый (рис. 285). Пренебрегая сопротивлением воды, определить, куда и насколько переместится лодка, если люди поменяются местами.

Рис. 285

Решение. Чтобы исключить из рассмотрения неизвестные нам силы трения подошв о дно лодки и мускульные усилия людей, будем рассматривать лодку и людей как одну систему (при этом названные силы станут внутренними). Внешними силами, действующими на систему, будут вертикальные силы Тогда и так как в начальный момент времени то Следовательно, абсолютные перемещения всех тел связаны зависимостью (17).

Изображая лодку и людей в начальном и конечном положениях, мы видим, что перемещение лодки

Далее, для первого человека абсолютное перемещение абсолютное перемещение второго человека равно , а проекция этого перемещения на ось Ох будет . Тогда по уравнению (17)

Отсюда находим, что перемещение лодки

Если т. е. лодка смещается вправо; при смещение лодки произойдет влево. Когда лодка остается на месте

Подчеркиваем еще раз: систему, движение которой надо рассмотреть при решении подобных задач, следует выбирать так, чтобы наперед неизвестные силы сделать внутренними.

Задача 124. Центр масс вала мотора смещен от оси вращения на величину . Масса вала , а масса всех остальных частей мотора . Определить, по какому закону будет двигаться мотор, поставленный на гладкую горизонтальную плоскость, когда вал вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти дополнительно, какое максимальное усилие будет испытывать болт D, если с его помощью неподвижно закрепить мотор.

Рис. 286

Рис. 287

Решение. Чтобы исключить силы, вращающие вал, сделав их внутренними, рассмотрим весь мотор с валом как одну систему.

1. При незакрепленном моторе все действующие на него силы и реакция плоскости) будут вертикальными, и здесь, как и в предыдущей задаче, будет иметь место закон сохранения движения центра масс вдоль оси Изображаем мотор в произвольном положении (рис. 286), считая начальным то положение, когда точки В и А лежат на одной вертикали (на оси Оу). Тогда в произвольном положении Отсюда, учитывая, что найдем по формуле (17)

откуда

Следовательно, мотор будет совершать гармонические колебания с круговой частотой со.

2. Когда мотор закреплен, то по первому из уравнений (16) горизонтальная реакция болта будет

В этом случае точка А неподвижна и . В результате, дифференцируя выражение и умножая его на М (М здесь всюду — масса всей системы), находим

Сила давления на болт равна по модулю и направлена в противоположную сторону; ее максимальное значение будет Во избежание ударов мотора по болтам при его работе, затяжка болтов Q должна быть такой, чтобы суммарная сила трения мотора о плоскость, на которой он установлен, т. е. была не меньше .

Задача 125. Кривошип АВ длиной и массой вращающийся с постоянной угловой скоростью со, приводит в движение кулису и связанный с нею поршень D, общая масса которых равна , (рис. 287). На поршень при его движении действует постоянная сила Q. Пренебрегая трением о направляющие, найти наибольшее горизонтальное давление на ось А кривошипа.

Решение. Чтобы исключить силы, вращающие кривошип, и давление на него со стороны кулисы, рассмотрим движение всей системы. Тогда по первому из уравнений (16), если обозначить горизонтальную реакцию оси А через будет

где согласно формулам .

В пашем случае , так как . В результате находим

Сила давления на ось равна по модулю и направлена в противоположную сторону. Давление будет максимальным, когда и будет равно .