§ 29. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Как показано в § 12, любая приводится в общем случае к силе, равной главному вектору R и приложенной в произвольном центре О, и к паре с моментом, равным главному моменту (см. рис. 40, б). Найдем, к какому простейшему виду может приводиться пространственная система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений, которые у этой системы имеют величины R и

1. Если для данной системы сил , а то она приводится к паре сил, момент которой равен и может быть вычислен по формулам (50). В этом случае, как было показано в § 12, значение от выбора центра О не зависит.

2. Если для данной системы сил то она приводится к равнодействующей, равной R, линия действия которой проходит через центр О. Значение R можно найти по формулам (49).

3. Если для данной системы сил но то эта система также приводится к равнодействующей, равной R, но не проходящей через центр О.

Действительно, при пара, изображаемая вектором и сила R лежат в одной плоскости (рис. 91).

Тогда, выбрав силы пары равными по модулю R и располагая их так, как показано на рис. 91, получим, что силы взаимно уравновесятся, и система заменится одной равнодействующей линия действия которой проходит через точку О (см, § 15, п. 2, б). Расстояние ) определяется при этом по формуле (28), где

Рис. 91

Рис. 92

Рис. 93

Легко убедиться, что рассмотренный случай будет, в частности, всегда иметь место для любой системы параллельных сил или сил, лежащих в одной плоскости, если главный вектор этой системы Если для данной системы сил и при этом вектор параллелен R (рис. 92, а), то это означает, что система сил приводится к совокупности силы R и пары Р, Р, лежащей в плоскости, перпендикулярной силе (рис. 92, б). Такая совокупность силы и пары называется динамическим винтом, а прямая, вдоль которой направлен вектор R, осью винта. Дальнейшее упрощение этой системы сил невозможно. В самом деле, если за центр приведения принять любую другую точку С (рис. 92, а), то вектор можно перенести в точку С как свободный, а при переносе силы R в точку С (см. § 11) добавится еще одна пара с моментом перпендикулярным вектору R, а следовательно, и . В итоге момент результирующей пары численно будет больше таким образом, момент результирующей пары имеет в данном случае при приведении к центру О наименьшее значение. К одной силе (равнодействующей) или к одной паре данную систему сил привести нельзя.

Если одну из сил пары, например Р, сложить с силой R, то рассматриваемую систему сил можно еще заменить двумя скрещивающимися, т. е. не лежащими в одной плоскости силами Q и (рис. 93). Так как полученная система сил эквивалентна динамическому винту, то она также не имеет равнодействующей.

5. Если для данной системы сил и при этом векторы и R не перпендикулярны друг другу и не параллельны, то такая система сил тоже приводится к динамическому винту, но ось винта не будет проходить через центр О.

Чтобы доказать это, разложим вектор на составляющие: направленную вдоль R, и перпендикулярную R (рис. 94). При этом , где — векторами и R. Пару, изображаемую вектором и силу R можно, как в случае, показанном на рис. 91, заменить одной силой R, приложенной в точке О, Тогда данная система сил заменится силой и парой смоментом параллельным причем вектор как свободный, можно тоже приложить в точке О. В результате действительно получится динамический винт, но с осью, проходящей через точку

Рис. 94

Рис. 95

Задача 38. Найти, к чему приводится система сил изображенных на рис. 6 (см. § 2), считая

Решение. Приведем силы к центру О, лежащему на середине отрезка АВ (рис. 95). Главный вектор системы и направлен по биссектрисе угла численно он равеи Главный момент системы Вектор направлен вдоль оси а вектор -вдоль оси ; численно оба Вектора равны Следовательно, по модулю а направлен вектор тоже по биссектрисе угла Таким образом, система сил приводится к динамическому винту и, как было указано в § 2, равнодействующей не имеет.