§ 95. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ (ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения [см. § 76, формула (7)], т. е. силой, пропорциональной первой степени скорости: (знак минус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R (рис. 258). Тогда и дифференциальное уравнение движения будет

Деля обе части уравнения на , получим

где обозначено

Легко проверить, что величины k и b имеют одинаковые размерности (1/время); это позволяет сравнивать их с друг с другом.

Уравнение (76) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости. Его решение, как и решение уравнения (67), ищут в виде . Подставляя это значение в уравнение (76), получим характеристическое уравнение корни которого будут

(78)

Рис. 258

1. Рассмотрим случай, когда , т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение

получим из (78), что т. е. что корни характеристического уравнения являются комплексными. Тогда общее решение уравнения (76) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (67) только множителем , т. е.

или, по аналогии с равенством (69),

(81)

Входящие в (81) величины А и а являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям.

Колебания, происходящие по закону (81), называются затухающими, так как благодаря наличию множителя величина (рис. 258) с течением времени убывает, стремясь к нулю.

График этих колебаний показан на рис. 259 (график заключен между пунктирными кривыми так как по модулю не может стать больше единицы).

Промежуток времени равный периоду т. е. величину

принято называть периодом затухающих колебаний. За период точка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав двигаться из положения вправо (см. рис. 258), приходит в то же положение, двигаясь также вправо. Формулу (82), если учесть равенство (71), можно еще представить в виде

Рис. 259

Из полученных формул видно, что т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Однако когда сопротивление мало то величиной по сравнению с единицей можно пренебречь и считать Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным Следовательно, если первое максимальное отклонение вправо происходит в момент то второе отклонение наступит в момент и т. д. Тогда по формуле (81), учитывая, что получим:

Аналогично для любого отклонения будет Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии называется декрементом рассматриваемых колебаний, а модуль его логарифма, т. е. величина логарифмическим декрементом.

Из всех полученных результатов следует, что малое сопротивление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепенное их затухание вследствие убывания размахов колебаний по закону геометрической прогрессии.

2. Рассмотрим теперь случай, когда , т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения (78) равны , т. е. оба действительны и отрицательны (так как ). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при вид

Так как функция , где а>0, со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колебательным и она под действием восстанавливающей силы будет постепенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению График такого движения, если при имеет в зависимости от значения вид одной из кривых, показанных на рис. 260 (1 — при при когда невелик; 3 — при когда велик; все эти результаты качественно ясны из физических соображений). При вид графиков не изменится (они будут лишь зеркально отображенными относительно оси ); наконец, при график (кривая 1) имеет максимум В в начальный момент времени

3. В заключение рассмотрим случай, когда Корни характеристического уравнения (78) будут при этом тоже действительными, но кратными и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой в уравнение)

Движение точки в данном случае тоже не будет колебательным и она со временем стремится асимптотически к равновесному положению [по правилу Лопиталя ]. График движения в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис. 260.

Рис. 260

Рис. 261

Задача 116. Цилиндр (его масса , а площадь дна ), частично погруженный в вязкую жидкость с удельным весом у (рис. 261), выводят из равновесного положения. Определить период последующих затухающих колебаний цилиндра, считая, что на него действует сила вязкого трения

Решение. В равновесном положении (рис. 261, а) на цилиндр действуют сила тяжести Р и архимедова сила равная численно весу вытесненной жидкости, т. е. — высота погруженной части цилиндра при равновесии).

Проведем из начального положения точки С вертикально вниз ось и изобразим цилиндр в произвольном положении, при котором точка С смещена вниз на величину (рис. 261, б). На цилиндр в этом положении действуют: сила тяжести Р, архимедова сила N и сила сопротивления R (при движении цилиндра вниз, т. е. когда она направлена вверх); изобразим силы Р и R приложенными в точке С. Поскольку дополнительное погружение цилиндра равно х, то (мы видим, что N здесь является восстанавливающей силой, пропорциональной смещению х). Составляя дифференциальное уравнение поступательного движения цилиндра в проекции на ось получим:

Учтя, что при равновесии и введя обозначения

приведем составленное уравнение к виду

такому же, как у уравнения (76). Тогда по формуле (82), учтя обозначения (а), найдем для искомого периода колебаний значение