§ 118. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Теоремой моментов пользуются для изучения вращательного движения тел (см. § 128, 131, 132).

Закон сохранения момента количеств движения позволяет по величине или по скорости перемещения одной части системы определить изменение угловой скорости (или угол поворота) другой ее части.

При этом из рассмотрения исключаются все наперед неизвестные внутренние силы, а также внешние силы, пересекающие ось вращения или ей параллельные.

Задача 130. Два диска насажены на общий вал (рис. 297). В некоторый момент времени вал слегка закручивают и предоставляют самому себе. Пренебрегая массой вала, определить зависимость между угловыми скоростями и углами поворотов дисков при их крутильных колебаниях, если моменты инерции дисков и относительно оси известны.

Рис. 297

Решение. Чтобы исключить неизвестные силы упругости, вызывающие колебания дисков, рассмотрим оба диска и вал как одну систему. Действующие на эту систему внешние силы (реакции подшипников и сила тяжести) пересекают ось поэтому . Но так как в начальный момент времени , то и во все время колебаний должно быть (кинетический момент системы относительно оси равен сумме кинетических моментов каждого дисков относительно той же осн). Отсюда

где — углы закручивания дисков, отсчитываемые от начального положения (последний результат получается интегрированием первого равенства).

Таким образом, колебания будут происходить в противоположные стороны, а угловые амплитуды колебаний будут обратно пропорциональны моментам инерций дисков. Неподвижное сечение будет ближе к диску, момент инерции которого больше.

Задача 131. У вертолета с двумя соосными винтами, вращающимися в разные стороны, один винт в полете внезапно останавливается, а другой продолжает вращаться вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Момент инерции относительно оси вращающегося винта равен а вертолета вместе с остановившимся винтом — Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, с какой угловой скоростью станет вращаться вертолет.

Решение. Силы взаимодействия между двигателем и валом винта неизвестны, но они станут внутренними, если рассмотреть в качестве механической системы вертолет вместе с винтами. Остановку винта вызвали тоже внутренние силы, которые не могут изменить кинетический момент системы, равный до этого (когда оба винта вращались в разные стороны) нулю. Следовательно, и после остановки винта должно быть где — кинетический момент вращающегося вннта (винт, вращаясь еще и вместе с вертолетом, будет иметь абсолютную угловую скорость а — кинетический момент вертолета вместе с остановившимся винтом. В результате находим

Знак указывает, что направление противоположно

При решении задач необходимо обращать внимание на то, что в исходные выражения величины (или Ко) входят абсолютные скорости точек и тел системы.

Задача 132. В регуляторе АВ, имеющем вертикальную ось вращения (величина регулятора известна), помещены два симметрично расположенных груза массой каждый, прикрепленных к пружинам (рис. 298). Когда грузы находятся в точках С, отстоящих от оси на расстояниях l, регулятор вращается с заданной угловой скоростью . В некоторый момент времени угловая скорость изменяется и грузы начинают совершать около центров С одинаковые затухающие колебания. Пренебрегая трением в оси, найти, как будет изменяться угловая скорость (в регулятора в зависимости от положений грузов, считая их материальными точками.

Решение. Чтобы исключить неизвестные нам силы упругости пружин и силы трения грузов о направляющие, рассмотрим регулятор и грузы как одну систему. Тогда, поскольку силы тяжести параллельны оси Oz, а реакции подшипников пересекают эту ось, и должно быть .

Найдем сначала . Скорость груза . Но вектор направлен по оси пересекающей ось следовательно, . Скорость перпендикулярна плоскости а ее модуль . Тогда . Учтя еще, что , получим

При Так как то окончательно дает

Когда то , а когда , то При затухании колебаний грузов стремится к нулю, а

Рис. 298

Рис. 299

Задача 133. Однородный диск 1, имеющий массу ту и радиус R, насажен на перпендикулярную ему вертикальную ось (рис. 299, где показан вид сверху). На дискесделан в середине О которого находится ползун 2 массой . В момент времени имеющийся на диске толкатель (на рис. 299 не показан) сообщает ползуну скорость и, с которой ползун продолжает двигаться. Определить зависимость угловой скорости, с которой начнет вращаться диск, от положения ползуна.

Решение. Рассмотрим диск и ползун как одну систему. Моменты действующих на нее внешних сил относительно оси равны нулю (см. рис. 298); следовательно, Поскольку до момента времени система была в покое, а ее движение начинается под действием внутренних сил, которые значение изменить не могут, то и в момент Отсюда в любой момент времени тоже так как

При движении системы , где (ползун в точке D и ). Тогда . В итоге, так как где — перемещение ползуна, то получим

Полагая теперь и считая для диска [см. § 102, формула (8)], найдем окончательно

Вращение происходит в направлении, противоположном показанному на рис. 299.

Примечание. В данной задаче (и ей аналогичных) было бы ошибочно считать, что так как в момент ползун получил скорость и, то у системы (а не ). В действительности же внутренние силы изменить значение не могут; поэтому, сообщив ползуну при скорость и, они одновременно сообщат диску угловую скорость , такую, что у системы сохранится Из решения (б) видно, что при когда и диск получает сообщенную внутренними силами угловую скорость что и дает Затем, при возрастании s, модуль убывает.

Если же принять то, полагая где дается равенством (а), получим . Такой результат действительно имеет место, когда скорость и ползуну сообщают внешние силы и его трение отсутствует.

Рис. 300

Задача 134. На барабан весом Р и радиусом (рис. 300) намотана нить с грузом А весом Q на конце. Пренебрегая весом нити, определить угловое ускорение барабана при вертикальном движении груза, если радиус инерции барабана относительно его оси равен и на барабан действует постоянный момент сил трения

Решение. Рассмотрим систему барабан — груз; тогда неизвестные силы натяжения нити будут внутренними. Воспользуемся теоремой моментов относительно оси О:

Для данной системы Груз движется поступательно и его скорость Барабан вращается вокруг неподвижной оси О и для него [см. § 102, формула (4)]. Тогда

Для моментов сил получим

Подставляя все эти величины в равенство (а), найдем

отсюда