§ 129. ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Изобразим сечение маятника плоскостью, перпендикулярной оси подвеса и проходящей через центр масс маятника С (рис. 324, а).

Введем обозначения: Р — вес маятника, а — расстояние ОС от центра масс до оси подвеса, — момент инерции маятника относительно оси подвеса. Положение маятника будем определять углом отклонения линии ОС от вертикали.

Рис. 324

Для определения закона колебаний маятника воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения (66). В данном случае (знак минус взят потому, что при момент отрицателен, а при — положителен) и уравнение (66) принимает вид

Деля обе части равенства на и вводя обозначение

найдем дифференциальное уравнение колебаний маятника в виде

Полученное дифференциальное уравнение в обычных функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол малым и полагая приближенно . Тогда предыдущее уравнение примет вид

Это дифференциальное уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением свободных прямолинейных колебаний точки и его общим решением по аналогии с равенством (68) из § 94 будет

Полагая, что в начальный момент маятник отклонен на малый и отпущен без начальной скорости найдем для постоянных интегрирования значения

Тогда закон малых колебаний маятника при данных начальных условиях будет

Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими. Период колебаний физического маятника, если заменить k его значением (67), определяется формулой

Как видим, для малых колебаний период от угла начального отклонения не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать составленное вначале дифференциальное уравнение колебаний маятника, не считая в нем угол малым (т. е. не полагая ), то можно убедиться, что зависит от Приближенно эта зависимость имеет вид

Отсюда, например, следует, что при рад (около 23°) формула (68) определяет период с точностью до

Полученные результаты охватывают и случай так называемого математического маятника, т. е. груза малых размеров (который будем рассматривать как материальную точку), подвешенного на нерастяжимой нити длиной l, массой которой по сравнению с массой груза можно пренебречь (рис. 324, б). Для математического маятника, так как он представляет собой систему, состоящую из одной материальной точки, очевидно, будет

Подставляя эти величины в равенство (68), найдем, что период малых колебаний математического маятника определяется формулой

Из сравнения формул (68) и (68), видно, что при длине

период колебаний математического маятника совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника.

Длина h такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Точка К, отстоящая от оси подвеса на расстоянии называется центром качаний физического маятника (см. рис. 324).

Замечая, что по теореме Гюйгенса мы можем привести формулу (69) к виду

Отсюда следует, что расстояние ОК всегда больше, чем т. е. что центр качаний маятника веегда расположен ниже его центра масс.

Из формулы (69) видно, что . Поэтому, если поместить ось подвеса в точке К, то приведенная длина U полученного маятника согласно

Следовательно, точки К и О являются взаимными, т. е. если ось подвеса будет проходить через точку К, то центром качаний будет точка О (так как и период колебаний маятника не изменится. Это свойство используется в так называемом оборотном маятнике, который служит для определения ускорения силы тяжести.

Экспериментальное определение моментов инерции. Один из экспериментальных методов определения моментов инерции тел (метод маятниковых колебаний) основан на использовании формулы (68) периода малых колебаний маятника.

Рис. 325

Рис. 326

Пусть требуется определить момент инерции относительно оси изображенного на рис. 325 тела (шатуна), вес которого Р известен. Подвесив тело так, чтобы ось была горизонтальна, найдем с помощью секундомера период его малых колебаний Т. Затем методом взвешивания (см. § 34, рис. 108) определим расстояние Подставляя все эти значения в формулу (68), получим

Если требуется определить момент инерции тела относительно оси проходящей через его центр тяжести, то тело можно подвесить на двух жестко прикрепленных к телу штангах (стержнях) так, чтобы ось была горизонтальна (рис. 326), и найти экспериментально момент инерции относительно оси АВ (величина а в этом случае наперед известна). После этого искомый момент инерции вычисляется по теореме Гюйгенса: