§ 113. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕМЫ К ДВИЖЕНИЮ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)

Рассмотрим установившееся течение жидкости. Установившимся называется течение, при котором в каждой точке области, занятой жидкостью, скорости v ее частиц, давление и плотность не изменяются со временем. При таком течении траектории жидких частиц являются одновременно линиями тока, т. е. кривыми, в каждой точке которых касательные направлены так же, как скорости жидких частиц, находящихся в данный момент времени в этих точках.

Выделим в движущейся жидкости область, ограниченную линиями тока, называемую трубкой тока (рис. 291, а; в случае движения в трубе это область, ограниченная стенками трубы). При установившемся течении через любое поперечное сечение трубки с площадью S за 1 с будет протекать одно и то же количество массы жидкости

где v — средняя скорость жидкости в данном сечении. Величину называют секундным массовым расходом жидкости.

Рис. 291

Выделим в трубке в момент времени t объем жидкости 1 — 2, ограниченный сечениями 1 и 2 (рис. 291) и обозначим его количество движения . В момент времени этот объем перейдет в положение 3—4, а его количество движения будет

так как в объем 1—3 за время войдет масса жидкости со скоростью а в объем 2—4 — та же масса со скоростью . Тогда

Подставляя это значение производной в уравнение (20), получим

Равенство (23) выражает теорему об изменении количества движения для установившегося движения жидкости (или газа) в трубке тока (или в трубе). Величину называют секундным количеством движения жидкости. Тогда теорему можно сформулировать так: разность секундных количеств движения жидкости, протекающей через два поперечных сечения трубки тока (трубы), равна сумме внешних сил, действующих на объем жидкости, ограниченный этими сечениями и поверхностью трубки тока (стенками трубы). Теорема позволяет при решении задач исключить из рассмотрения все внутренние силы (силы взаимных давлений частиц жидкости в объеме 1-2).

В случае движения в трубе разделим действующие внешние силы на главный вектор массовых сил (сил тяжести) действующих на все частицы жидкости, и главные векторы поверхностных сил: — сил давления на жидкость со стороны стенок трубы (реакций трубы), — сил давления в сечениях и 2 со стороны жидкости, находящейся вне объема 1—2 (рис. 291, б); численно

Тогда уравнение (23) можно представить в виде

(23)

Равенство (23) выражает теорему, называемую теоремой Эйлера.

Задача 128. Давление струи. Струя воды вытекает из брандспойта со скоростью и ударяет под прямым углом о твердую стенку (рис. 292). Диаметр вытекающей струи см. Определить силу динамического давления на стенку.

Решение. Рассмотрим часть струи, заключенную между сечениями 1 и 2, и применим к ней теорему, выражаемую равенством (23), проектируя обе его части на ось Учтя, что внешней силой, дающей проекцию на ось является реакция R стенки и что , получим

Отсюда, так как , а по формуле , где плотность воды находим окончательно

Сила давления струи на стенку равна этой же величине,

Рис. 292

Рис. 293

Задача 129. По расположенному в вертикальной плоскости и изогнутому под углом а колену трубы длиной l и радиусом течет вода со средней по сечению скоростью v (рис. 293). Определить полную силу давления воды на колено, если давления на входе и выходе из колена равны соответственно

Решение. Применим к объему 1—2 воды, заключенной в колене, уравнение (23) в проекциях на оси Ох и Оу. Внешними силами для этого объема будут массовая сила (сила тяжести) силы давления в сечениях 1 и 2 и суммарная реакция R стенок колена, имеющая составляющие Тогда получим

Так как в данном случае , то . Кроме того, по формуле , где — плотность воды; а масса воды в колене . Подставляя все эти величины в уравнения (а), найдем окончательно:

Силы давления воды на колено трубы численно равны но имеют противоположные направления.