§ 114. ТЕЛО ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ. ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫ

В классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной. Однако в некоторых случаях состав частиц, образующих данную систему или тело, может с течением времени изменяться (отдельные частицы могут отделяться от тела или присоединяться к нему извне); вследствие этого будет изменяться и суммарная масса рассматриваемого тела. Задачи, в которых имеет место подобное присоединение или отделение единичных масс, нам уже встречались (см. выше задачи 126, 127 или задачу 86 в § 78). В этом параграфе будет рассмотрен другой практически важный случай, когда процесс отделения от тела или присоединения к нему частиц происходит непрерывно. Тело, масса М которого непрерывно изменяется с течением времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, будем называть телом переменной массы. Для тела переменной массы

где — непрерывная функция времени.

Когда такое тело движется поступательно (или когда вращательная часть его движения не учитывается), это тело можно рассматривать как точку переменной массы.

Рис. 294

Движение ракеты. Найдем уравнение движения тела, масса которого со временем непрерывно убывает, на практически важном примере движения ракеты, считая ее точкой переменной массы. Обозначим относительную (по отношению к корпусу ракеты) скорость истечения продуктов горения из ракеты через и. Чтобы исключить силы давления, выталкивающие продукты горения, сделав эти силы внутренними, рассмотрим в некоторый момент времени t систему, состоящую из самой ракеты и частицы, отделяющейся от нее в течение промежутка времени (рис. 294). Масса этой частицы численно равна величине на которую за время изменяется масса ракеты. Так как М — величина убывающая, то и, следовательно,

Уравнение (20) для рассматриваемой системы можно представить в виде

где — геометрическая сумма приложенных к ракете внешних сил.

Если скорость v ракеты за время изменяется на величину то количество движения рассматриваемой системы получает при этом приращение . У частицы в момент t количество движения равно (она еще является частью тела), а в момент оно будет так как частица получает дополнительную скорость .

Следовательно, за время количество движения частицы изменится на величину (поскольку ), а для всей системы получится . Подставляя это значение в равенство (24) и деля обе его части на dt, найдем окончательно

Уравнение (25) представляет собой в векторной форме дифференциальное уравнение движения точки переменной массы, называемое уравнением Мещерского.

Учитывая, что последнее слагаемое в правой части (25) по размерности также является силой, и обозначая его через , мы можем уравнение (25) представить еще в виде

Таким образом, реактивный эффект сводится к тому, что на ракету при ее движении дополнительно действует сила Ф, называемая реактивной силой.

Величина численно равна массе топлива, расходуемого за единицу времени, т. е. секундному расходу массы топлива .

Таким образом, если учесть знак, то

Отсюда следует, что

т. е. реактивная сила равна произведению секундного расхода массы топлива на относительную скорость истечения продуктов его сгорания и направлена противоположно этой скорости.

Некоторые другие случаи движения тела переменной массы. Если рассмотреть движение тела, масса М которого с течением времени вследствие непрерывного присоединения к нему частиц возрастает считая это тело тоже точкой переменной массы, а относительную скорость присоединяющихся частиц обозначить по-прежнему и, то нетрудно проверить, что для такого тела уравнение движения сохранит вид (25) или (26), только в уравнении (26), поскольку теперь , будет

Наконец, для тела, у которого одновременно происходит непрерывное отделение и присоединение частиц, в уравнении (26) получится

где — относительные скорости отделяющихся и присоединяющихся частиц соответственно; — отделяющаяся, — присоединяющаяся за секунду масса.

Такой случай имеет, например, место для самолета, на котором установлен воздушно-реактивный двигатель, засасывающий воздух из атмосферы и выбрасывающий его вместе с продуктами горения топлива. Так как доля этих продуктов в отбрасываемом воздухе очень мала (не превышает ), то здесь практически можно считать Кроме того, очевидно, что относительная скорость присоединяемой массы воздуха где v — скорость самолета. Тогда, полагая , получим соответственно для вектора Ф и его модуля Ф значения:

При определении модуля реактивной силы принято, что скорости v (самолета) и и (отбрасываемого воздуха) направлены в прямо противоположные стороны.

Формула справедлива и для гидрореактивпого двигателя, создающего тягу за счет засасывания и выброса воды.

Формула Циолковского. Найдем, как происходит движение ракеты под действием только одной реактивной силы, считая а относительную скорость истечения и постоянной.

Направим координатную ось в сторону движения (см. рис. 294).

Тогда и уравнение (25) в проекции на ось если в нем положить примет вид

Интегрируя это уравнение и считая, что в начальный момент масса а скорость и направлена вдоль оси получим

Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием через а всю массу топлива через Тогда, очевидно, а масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, будет равна Подставляя эти значения в равенство (28), получим формулу Циолковского, определяющую скорость ракеты, когда все ее топливо будет израсходовано (скорость в конце так называемого активного участка):

Строго этот результат справедлив в безвоздушном пространстве и вне поля сил. Из формулы (29) видно, что предельная скорость ракеты зависит: 1) от ее начальной скорости от относительной скорости истечения (вылета) продуктов горения от относительного запаса топлива (число Циолковского). Очень интересен тот факт, что от режима работы ракетного двигателя, т. е. от того, насколько быстро или медленно сжигается все топливо, скорость ракеты в конце периода горения не зависит.

Важное практическое значение формулы Циолковского состоит в том, что она указывает возможные пути получения больших скоростей, необходимых для космических полетов. Этими путями являются увеличение причем путь увеличения и и более эффективен. Увеличение и и связано с видом топлива и конструкцией ракеты. Применяемые жидкие топлива позволяют получить

Но значения у одноступенчатых ракет таковы, что они не дают скоростей, необходимых для космических полетов (см. § 98). Получить необходимую скорость можно путем использования составной (многоступенчатой) ракеты, части (ступени) которой по мере израсходования содержащегося в них топлива автоматически отделяются от последней ступени, получающей в результате дополнительную (начальную) скорость.

Подобная многоступенчатая ракета была применена для запуска первых в мире советских искусственных спутников Земли (4 октября и 3 ноября 1957 г.), а также при многочисленных пусках других космических объектов, в том числе кораблей, на которых совершают свои полеты космонавты.