§ 141. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ

Принцип возможных перемещений дает общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, мы можем получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим систему материальных точек, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы кроме действующих на них активных сил и реакций связей прибавить соответствующие силы инерции то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Тогда, применяя к этим силам принцип возможных перемещений, получим

Но последняя сумма по условию (98) равна нулю и окончательно будет:

Из полученного результата вытекает следующий принцип Даламбера — Лагранжа: при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Уравнение (102), выражающее этот принцип, называют общим уравнением динамики. В аналитической форме уравнение (102) имеет вид

Уравнения (102) или (103) позволяют составить дифференциальные уравнения движения механической системы.

Если при этом система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то для составления уравнений нужно к действующим на каждое тело активным еилам прибавить приложенную в любом центре силу, равную главному вектору сил инерции, и пару с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра (или одну из этих величин, см. § 134), а затем применить принцип возможных перемещений.

Задача 173. В центробежном регуляторе, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 362), вес каждого из шаров и равен вес муфты равен Q. Пренебрегая весом стержней, определить угол а, если

Решение. Присоединяем к активным силам центробежные силы инерции (сила инерцни муфты, очевидно, будет равна нулю) и составляем общее уравнение динамики в виде (103). Тогда, вычисляя проекции всех сил на координатные оси, получим

Координаты точек приложения сил равны:

Дифференцируя эти выражения, находим:

Подставляя все найденные значения в уравнение (а), получаем

Отсюда окончательно

Так как то шары будут отклоняться, когда . С увеличением угол а растет, стремясь к 90° при

Рис. 362

Рис. 363

Задача 174. В подъемнике, изображенном на рис. 363, к шестерне имеющей вес и радиус инерции относительно ее оси приложен вращающий мемент М. Определить ускорение поднимаемого груза 3 весом Q, пренебрегая весом веревки и трением в осях. Барабан, на который наматывается веревка, жестко скреплен с другой шестерней; их общий вес равен , а радиус инерции относительно оси вращения Радиусы шестерен равны соответственно а радиус барабана .

Решение. Изображаем действующую на систему активную силу Q и вращающий момент М (силы работы не совершают); присоединяем к ним силу инерции груза и пары с моментами и к которым приводятся силы инерции вращающихся тел (см. § 134).

Эти величины по модулю равны:

Направления всех величин показаны на чертеже. Сообщая системе возможное перемещение и составляя уравнение (102), получим

Выражая все перемещения через найдем, что

Окончательно уравнение движения примет вид

Входящие сюда величины выразим через искомое ускорение . Учитывая, что связаны между собой так же, как и получим:

В результате найдем окончательно

Задачу можно было бы решить и с помощью теоремы об изменении кинетической энергии (см. § 124),