§ 122. НЕКОТОРЫЕ СЛУЧАИ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАБОТЫ

Работа сил вычисляется по формулам, полученным в § 87 и 88. Рассмотрим дополнительно следующие случаи.

1. Работа сил тяжести, действующих на систему. Работа силы тяжести, действующей на частицу весом будет равна где — координаты, определяющие начальное и конечное положения частицы (см. § 88). Тогда, учтя, что (см. § 32), найдем для суммы работ всех сил тяжести, действующих на систему, значение

Этот результат можно еще представить в виде

где Р — вес системы, — вертикальное перемещение центра масс (или центра тяжести). Следовательно, работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их главного вектора (в случае твердого тела равнодействующей) Р на перемещении центра масс системы (или центра тяжести тела).

2. Работа сил, приложенных к вращающемуся телу. Элементарная работа приложенной к телу силы F (рис. 307) будет равна (см. § 87)

так как , где — элементарный угол поворота тела.

Но, как легко видеть,

Будем называть величину вращающим моментом. Тогда получим

Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота. Формула (46) справедлива и при действии нескольких сил, если считать

При повороте на конечный угол работа

а в случае постоянного момента

Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси Oz, то в формулах (46)-(47) будет, очевидно, означать момент этой пары.

Укажем еще, как в данном случае определяется мощность (см. § 87). Пользуясь равенством (46), находим

Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.

Рис. 307

Рис. 308

3. Работа сил трения, действующих на катящееся тело. На колесо радиусом R (рис. 308), катящееся по некоторой плоскости (поверхности) без скольжения, действует приложенная в точке В сила трения , препятствующая скольжению точки вдоль плоскости. Элементарная работа этой силы . Но точка В в данном случае совпадает с мгновенным центром скоростей (см. § 56) и

Так как то и для каждого элементарного перемещения .

Следовательно, при качении без скольжения работа силы трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равна нулю. По той же причине в этом случае равна нулю и работа нормальной реакции N, если считать тела недеформируемыми в силу N приложенной в точке В (как на рис. 308, а).

Сопротивление качению создает возникающая вследствие деформации поверхностей (рис. 308, б) пара сил N, Р, момент которой где k — коэффициент трения качения (см. § 27). Тогда по формуле (46), учитывая, что при качении угол поворота колеса получим

где — элементарное перемещение центра С колеса.

Если то полная работа сил сопротивления качению

Так как величина мала, то при наличии других сопротивлений сопротивлением качению можно в первом приближении пренебрегать.