§ 87. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широко используемое не только в механике. Сначала введем понятие об элементарной работе.

Элементарной работой силы F, приложенной в точке М (рис. 228), называется скалярная величина

где — проекция силы F на касательную к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция F на направление скорости v точки — модуль элементарного перемещения точки М.

Такое определение соответствует представлению о работе как о мере того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. Если разложить силу F на составляющие то изменять модуль скорости будет так как (составляющая изменяет или направление вектора v, или при несвободном движении — силу давления на связь).

Замечая, что , где а — угол между F и получим из (40) другое выражение для

Если угол а острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа

Если угол а тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа

Если , т. е. если сим направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Если учесть, что , где — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (41) можно представить в виде

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения тонки ее приложения.

Если в формуле (42) выразить скалярное произведение через проекции векторов на координатные оси и учесть, что , то получим аналитическое выражение элементарной работы

в котором х, у, z — координаты точки приложения силы

Рис. 228

Рис. 229

Работа силы на любом конечном перемещении (рис. 228) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ

или

Следовательно, работа силы на любом перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках и (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой , т. е. является криволинейным).

Если величина постоянна (), то из (44), обозначая перемещение через получим

В частности, такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению а точка, к которой приложена сила, движется прямолинейно (рис. 229). В этом случае и

Единицей измерения работы является в СИ — 1 джоуль , а в системе МКГСС —

Графический способ вычисления работы. Если сила зависит от расстояния s и известен график зависимости от s (рис. 230), то работу силы можно вычислить графически. Пусть в положении точка находится от начала отсчета на расстоянии , а в положении — на расстоянии . Тогда по формуле (44), учитывая геометрический смысл интеграла, получим

где — величина заштрихованной на рис. 230 площади, умноженной на масштабный коэффициент.

Рис. 230

Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность где — время, в течение которого произведена работа А. В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Единицей измерения мощности в СИ является ватт ), а в системе МКГСС — . В технике за единицу мощности часто принимается 1 л. с., равная (или ).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час ).

Из равенства видно, что у двигателя, имеющего данную мощность N, сила тяги будет тем больше, чем меньше скорость v. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.