§ 98. ИСКУССТВЕННЫЕ СПУТНИКИ ЗЕМЛИ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ

При траектория тела, брошенного с земной поверхности, есть эллипс, у которого ось РА, образующая с угол Р, является осью симметрии (см. рис. 269). Если начальные условия в пункте будут таковы, что угол то траектория пересечет поверхность Земли в симметричной относительно оси РА точке т. е. тело упадет на Землю. Следовательно, брошенное тело может стать спутником Земли лишь при тех начальных условиях, которые дают Но, как показывают равенства (111), только при так как при первое из равенств (111) дает что невозможно, поскольку — величина положительная. Следовательно, чтобы тело, брошенное с земной поверхности, превратилось в спутника Земли, необходимо выполнение двух условий:

Эксцентрисистет орбиты спутника при как видно из равенств (111) или (113), будет

Скорость при которой и спутник движется по круговой орбите радиуса R, называется круговой или первой космической скоростью [см. § 82, формула (28)]. При бросании с поверхности Земли, если считать км и первая космическая скорость . При орбитой спутника будет эллипс, эксцентриситет которого тем больше, чем больше (рис. 270).

Когда угол бросания , то ни при какой начальной скорости тело, бросаемое с земной поверхности (если даже не учитывать сопротивление воздуха), спутником Земли стать не может. Поэтому, например, создать искусственный спутник Земли выстрелом из орудия практически невозможно; для этой цели пригодна управляемая ракета, которая с помощью соответствующих приборов может поднять спутник на заданную высоту и сообщить ему в пункте (рис. 270) нужную скорость под углом к горизонтальной плоскости. Таким путем и был осуществлен запуск первых в мире советских искусственных спутников Земли и космических кораблей с человеком на борту.

Рис. 270

Отметим в заключение, что с увеличением высоты Я пункта над поверхностью Земли сопротивление воздуха будет убывать и спутник будет долговечнее. Одновременно станет, очевидно, возможным получение спутникового движения и при а=0. Однако нетрудно подсчитать, что при увеличении (хотя, например, при этом уменьшается) полная энергия, затрачиваемая на запуск спутника данной массы, возрастает.

Эллиптические траектории. При тело, брошенное с земной поверхности, описав дугу эллипса, упадет обратно на Землю. Такие эллиптические траектории описывают баллистические ракеты, в частности межконтинентальные. Найдем основные характеристики этих траекторий.

Так как ось РА является осью симметрии траектории, то точкой падения будет и дальность будет равна длине дуги (см. рис. 269); следовательно,

где Р определяется формулой (112). При этом, как обычно принято, в равенстве — средний радиус Земли.

Наибольшая высота траектории равна или, согласно равенствам (109) и (110),

где определяется формулой (113).

Время полета Т найдем из уравнения (103), которое вместе с (104) дает

Заменяя здесь его значением, получаемым из равенств (109) и (110), и интегрируя, найдем, что

где

Вычисляя интеграл, найдем окончательно после ряда преобразований

где обозначено

(119)

По полученным формулам, зная и угол бросания а, можно определить дальность полета S, наибольшую высоту траектории II и время полета Т.

С практической точки зрения важно найти минимальную скорость и наивыгоднейший угол бросания при которых может быть получена заданная дальность

Для этого определим из равенства (112) величину Получим

При данной дальности (при данном угле ) потребная скорость зависит от угла а. Так как угол а входит в равенстве (120) только в знаменатель, то имеет минимум, когда этот знаменатель достигает максимума. Приравнивая производную от знаменателя по а нулю, найдем

откуда и наивыгоднейший угол бросания

Что данная величина дает легко проверяется по знаку второй производной. Подставляя значение в равенство (120) и учитывая, что получим

Формулы (122) и (121) определяют наименьшую начальную скорость и наивыгоднейший угол бросания, обеспечивающие заданную дальность. Высота траектории и время полета при этом подсчитываются по формулам (117) и (118), в которых и а заменяются их значениями из (122) и (121). Для наглядности элементы нескольких наивыгоднейших эллиптических траекторий, подсчитанные по этим формулам при км, приведены в табл. 3 (все величины даны в таблице с точностью до 5 единиц последнего знака).

Напоминаем, что все эти расчеты относятся к движению в безвоздушном пространстве и не учитывают влияние вращения Земли. В заключение отметим, что при малых дальностях (угол мал) дуга эллипса, описываемого брошенным телом, близка к дуге параболы. Если при этом считать а величиной Р в других равенствах по сравнению с единицей пренебречь, то в пределе все

Таблица 3

полученные формулы перейдут в соответствующие формулы для параболических траекторий (см. § 82). В частности, из (121) и (122) получаем сразу