§ 5. ПРОЕКЦИЯ СИЛЫ НА ОСЬ И НА ПЛОСКОСТЬ. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ И СЛОЖЕНИЯ СИЛ

Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.

Если этот угол острый, — проекция положительна, если тупой, — отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, — ее проекция на ось равна нулю. Так, для сил, изображенных на рис. 18,

Проекцией силы F на плоскость называется вектор заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость (рис. 19). Таким образом, в отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость есть величина векторная, так как она характеризуется не только своими числовыми значениями, но и направлением в плоскости По модулю где — угол между направлением силы F и ее проекции

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 19, найдем таким способом, что

Аналитический способ задания сил. Для аналитического задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Oxyz, по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

В механике мы будем пользоваться правой системой координат, т. е. такой системой, в которой кратчайшее совмещение оси с осью происходит, если смотреть с положительного конца оси против хода часовой стрелки (рис. 20).

Вектор, изображающий силу F, можно построить, если известны модуль этой силы и углы , которые сила образует с координатными осями. Таким образом, величины и задают силу F. Точка А приложения силы должна быть задана отдельно ее координатами .

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями на координатные оси. Зная эти проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями, по формулам:

Если все рассматриваемые силы расположены в одной плоскости, то каждую из сил можно задать ее проекциями на две оси Тогда формулы, определяющие силу по ее проекциям, примут вид:

Аналитический способ сложения сил. Переход от зависимостей между векторами к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Согласно этой теореме, если R есть сумма сил то

Зная по формулам (6) находим:

Формулы (8), (9) и позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.

Задача 3. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 21, а), если дана:

Решение. Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси

Тогда по формулам (10)

Следовательно,

Окончательно

Для решения той же задачи геометрическим методом иадо, выбрав соответствующий масштаб (например, в 1 см — ЮН), построить из сил Р, F и Т силовой многоугольник (рис. 21, б).

Рис. 21

Его замыкающая и определяет в данном масштабе модуль и направление R. Если, например, при измерении получим см, то, следовательно, с ошибкой по отношению к точному решению около 4%.