ГЛАВА XII. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ И ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 60. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета твердого тела, закрепленного так, что одна его точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о плоскость, или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровым шарниром.

1. Уравнения движения. Найдем, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник , по положению которого можно судить о положении тела (рис. 172). Линия ОК, вдоль которой пересекаются плоскости называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям трехгранника , а с ним и самого тела можно определить углами:

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые небесной механики наименования: — угол собственного вращения, — угол прецессии, — угол нутации. Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 172 стрелками.

Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отношению к осям в любой момент времени, т. е. знать зависимости:

Уравнения (68), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

2. Угловая скорость тела. При изменении угла тело совершает вращение вокруг оси (собственное вращение) с угловой скоростью при изменении угла — вращение вокруг оси (прецессия) с угловой скоростью и при изменении угла — вращение вокруг линии узлов ОК (нутация) с угловой скоростью Векторы этих угловых скоростей направлены соответственно по осям и ОК (рис. 173).

Рис. 172

Рис. 173

Поскольку при движении тела изменяются вообще все три угла, движение тела представляет собой вращение с угловой скоростью , равной геометрической сумме названных угловых скоростей (справедливость этого будет подтверждена в § 71). Таким образом,

Поскольку значения со временем изменяются, вектор со будет при движении тела тоже изменяться и численно, и по направлению. По этой причине называют еще мгновенной угловой скоростью тела.

3. Геометрическая картина движения . Если тело имеет в данный момент времени угловую скорость то его элементарное перемещение за промежуток времени представляет собой элементарный поворот на угол вокруг оси ОР, вдоль которой направлен вектор (см. рис. 173). Эта ось ОР называется мгновенной осью вращения. Иначе, мгновенная ось вращения — это ось, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из данного положения в положение бесконечно близкое к данному. От неподвижной оси мгновенная ось вращения отличается тем, что ее направления и в пространстве, и в самом теле непрерывно меняются.

Переместившись элементарным поворотом вокруг оси ОР в соседнее положение, тело из этого положения в последующее перемещается поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения и т. д. Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвижную точку (рис. 174).

4. Угловое ускорение тела. Векторная величина

характеризующая изменение стечением времени угловой скорости и по модулю, и по направлению, называется угловым ускорением тела в данный момент времени или мгновенным угловым ускорением.

При изменении вектора со его конец А будет описывать в пространстве некоторую кривую AD, являющуюся годографом вектора (см. рис. 174). Тогда, сравнивая выражение (69) с равенством приходим к выводу, что угловое ускорение можно вычцслять как скорость, с которой конец вектора со перемещается вдоль кривой AD. В частности, направление совпадает с направлением касательной к кривой AD в соответствующей точке. Следовательно, в данном случае, в отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси, направление вектора не совпадает с направлением вектора со.

Рис. 174

Векторы являются основными кинематическими характеристиками движения тела, имеющего неподвижную точку. Их можно определить аналитически, зная уравнения движения (68), как это показано в § 61. Значение со можно найти и геометрически (см. § 62).