§ 51. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ТЕЛА

Установив в предыдущих параграфах характеристики движения всего тела в делом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис. 134).

При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время происходит элементарный поворот тела на угол то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению т. е.

или

Скорость v в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окруокной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела со имеет в данный момент времени одно и то же значение, то из формулы (44) следует, что скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения. Поле скоростей точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис. 136.

Рис. 136

Рис. 137

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае . Подставляя значение v из равенства (44) в выражения получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 137).

Полное ускорение точки М будет или

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом который вычисляется по формуле [вторая из формул (22)]. Подставляя сюда значения из равенств (45), получаем

Так как имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то из формул (46) и (47) следует, что ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол , с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис. 138.

Рис. 138

Рис. 139

Формулы (44) — (47) позволяют определить скорость и ускорение любой точки тела, если известен закон вращения тела и расстояние данной точки от оси вращения. По этим же формулам можно, зная движение одной точки тела, найти движение любой другой его точки, а также характеристики движения всего тела в целом.

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 139). Тогда а и по формуле (44)

Таким образом, - модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М. Направления векторов тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,

т. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Формулу (48) называют формулой Эйлера.

Беря от обеих частей равенства (48) производные по времени, получим

или

Формула (49) определяет вектор ускорения любой точки вращающегося тела.

Вектор направлен, как и вектор , т. е. по касательной к траектории точки Вектор же направлен вдоль МС, т. е. по нормали к траектории точки М, а так как Учитывая все эти результаты, а также формулы (45), заключаем, что

Задача 54. Вал, делающий об/мин, после выключения двигателя начинает вращаться равнозамедленно и останавливается через с. Определить, сколько оборотов сделал вал за это

Решение. Так как вал вращается равиозамедленно, то для него, считая будет

Начальной угловой скоростью при замедленном вращении является та, которую вал имел до выключения двигателя. Следовательно,

В момент остановки при угловая скорость вала. Подставляя эти вначения во второе из уравнений (а), получаем:

Если обозначить число сделанных валом за время оборотов через N (не смешивать с n; — угловая скорость), то угол поворота за то же время будет равен Подставляя найденные значения в первое из уравнений (а), получим

откуда

Задача 55. Маховик радиусом пращаегся равномерно, делая об/мин. Определить скорость и ускорение точки, лежащей на ободе маховика.

Решение. Скорость точки обода где угловая скорость w должна быть выражена в радианах в секунду. Тогда

Далее, так как то и, следовательно,

Ускорение точки направлено в данном случае к оси вращения.

Задача 56. Полагая, что при разгоне маховик вращается по закону

определить значения постоянных коэффициентов и k из условий, что при должно быть и что предельная угловая скорость, до которой разгоняется маховик а его угловое ускорение при разгоне не должно превышать значения

Найти также, какое ускорение будет при этом у точек обода маховика в момент времени , если радиус маховика

Решение. Из уравнения (а) видно, что при если

Далее из уравнения (а) находим, что Следовательно, при если

При этих значениях уравнение (а) примет вид

Отсюда находим

Первое из равенств (в) показывает, что со временем растет и при стремится к предельному значению следовательно, Из второго же равенства видно, что со временем убывает, стремясь к нулю, а наибольшее чение имеет при следовательно,

Но по условиям задачи Тогда должно быть откуда При этих значениях k и равенство (б) дает окончательно следующий закон вращения маховика:

Тогда, что видно и из равенств (в), будет

момента времени 1 с, учитывая, что получим Следовательно, в этот момент времени

Задача 57. Груз В (рис. 140) приводит во вращение вал радиусом и сидящую на одной оси с валом шестерню ральуссч Движение груза начинается из состояния покоя и происходит с постоянным ускорением а. Определить, по какому закону будет при этом вращаться находящаяся в зацеплении с шестерней шестерня 2 радиуса .

Рис. 140

Решение. Так как груз В начинает двигаться без начальной скорости, то его скорость в любой момент времени t равна Эту скорость будут иметь и точки обода вала. Но, с другой стороны, скорости этих точек равны где общая для вала и шестерни 1 угловая скорость. Следовательно,

Теперь найдем Так как скорость точки сцепления С должна быть одной и той же для обеих шестерен, то откуда

Итак, угловая скорость шестерни 2 растет пропорционально времени. Учитывая, что где — угол поворота шестерни 2, получим

Отсюда, беря от обеих частей интегралы и считая, что при угол найдем окончательно закон равноускоренного вращения шестерни 2 в виде