Глава XVIII. НЕСВОБОДНОЕ И ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 90. НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет несвободным, когда в силу наложенных связей она вынуждена двигаться по заданной поверхности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго случая.

Движение точки по заданной неподвижной кривой. Рассмотрим материальную, точку, движущуюся по заданной гладкой неподвижной. кривой иод действием активных сил и реакции связи N (рис. 241). Выберем на кривой начало отсчета О и будем определять положение точки М криволинейной координатой (см. § 37). Проведем из точки М оси (см. § 42), т. е. касательную (в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль (в сторону вогнутости кривой) и бинормаль и воспользуемся уравнениями (11) из § 77. Так как кривая гладкая, то реакция N перпендикулярна кривой, т. е. лежит в плоскости потому

В результате получим следующие дифференциальные уравнения движения точки по заданной кривой:

Уравнение (53) не содержит неизвестной реакции N и позволяет непосредственно определить закон движения точки вдоль кривой, т. е. зависимость Этим уравнением можно пользоваться и в случае, когда кривая не является гладкой, присоединив к силам силу трения . Но так как то в этом случае в уравнение (53) через силу трения войдет еще и реакция

Уравнения (54) служат для определения реакции связи N. Из уравнений видно, что при криволинейном движении динамическая реакция в отличие от статической кроме действующих активных сил и вида связи зависит еще от скорости. Эту скорость (если она не задана) можно найти или проинтегрировав уравнение (53), или же, что обычно проще, с помощью теоремы об изменении кинетической энергии точки; в уравнение (52), выражающее эту теорему для случая связей без трения, реакция N тоже не входит.

Рис. 241

Рис. 242

Задача 105. Тяжелому кольцу М, нанизанному на горизонтально расположенную гладкую проволочную окружность, сообщают начальную скорость направленную по касательной к окружности. При движении на кольцо действует сила сопротивления где — масса кольца; v — его скорость; k — постоянный коэффициент. Найти, через сколько секунд кольцо остановится.

Решение. Помещаем начало отсчета в начальном положении кольца (рис. 242). Изображаем кольцо в произвольном положении и проводим оси На кольцо действуют сила тяжести Р, реакция N и сила сопротивления F. Составим уравнение (53), учитывая, что уравнение примет вид

Отсюда, разделяя переменные и учитывая, что при получим

В момент когда груз останавливается, Следовательно, полагая в полученном уравнении найдем

Время движения до остановки при данном законе сопротивления является конечным (см. задачу 93 в § 80).

Задача 106. В предыдущей задаче найти, какой путь пройдет кольцо вдоль окружности до остановки, считая, что на него действует не сила сопротивления, зависящая от скорости, а сила трения . Дано: радиус кольца начальная скорость коэффициент трения кольца об окружность

Решение. Выбираем начало отсчета О и проводим оси так же, как и в предыдущей задаче (рис. 242). Действующими на кольцо силами будут: Р, N и F, где F — теперь сила трения. Составляя уравнения (53) и (54), получим:

По модулю (было бы ошибкой вычислить силу трения как арифметическую сумму сил ). Замечая, что находим

Как видим, сила трения зависит через реакцию N от скорости кольца. Чтобы сразу найти зависимость s от v, заметим, что . Тогда, после сокращения на , уравнение движения кольца примет вид

Разделяя переменные и беря от обеих частей равенства соответствующие определенные интегралы, получим

откуда

и окончательно

В момент остановки Поэтому искомый путь, если считать приближенно будет

Задача 107. Груз весом Р, подвешенный на нити длииой I, отклоняют от вертикали на угол а в положение и отпускают без начальной скорости. Определить натяжение нити в момент, когда груз дойдет до наннизшего положения

Решение. Изображаем груз в том положении, для которого надо найти натяжение нити, т. е. в положении (рис. 243). На груз действуют сила тяжести Р и реакция нити Т. Проводим нормаль в сторону вогнутости траектории и составляем уравнение (54), учитывая, что в нашем случае . Получим

где — скорость груза в положении . Для определения воспользуемся уравнением (52)

Работу на участке совершает только сила Р. Поэтому

Так как , то, подставляя найденное значение работы в равенство (а), получим и окончательно найдем

В частном случае, если угол начального отклонения натяжение нити при прохождении через вертикаль будет равно т. е. утроенному весу груза.

Полученное решение показывает, что динамические реакции действительно могут значительно отличаться от статических,

Рис. 243

Рис. 244

Задача 108. Желоб состоит из двух дуг АВ и BD окружностей радиуса R, расположенных в вертикальной плоскости так, что касательная BE в точке сопряжения горизонтальна (рис. 244). Пренебрегая трением, определить, на какой высоте h над линией BE надо положить в желоб тяжелый шарик, чтобы он соскочил с желоба в точке лежащей на таком же расстоянии h ииже линии

Решение. Шарик оторвется от желоба в той точке где его давление на желоб (или реакция N желоба) обратится в иуль. Следовательно, задача сводится к определению N, Изображаем шарик в точке На него действуют сила тяжести Р и реакция желоба N. Составляя уравнение (54) в проекции на внутреннюю нормаль найдем, что

Так как в точке отрыва то, учитывая, что получим для определения h уравнение

Величину найдем из теоремы об изменении кинетической энергии. Так как то уравнение (52) дает

Работу здесь совершает только сила Р, причем Следовательно, Подставляя это значение в уравнение (а), получим откуда

Задача 109. Груз М подвешен на нити длиной l (рис. 245). Какую наименьшую начальную скорость перпендикулярную нити, надо сообщить грузу, чтобы он описал полную окружность?

Решение. Груз опишет полную окружность, если на всем пути натяжение инти нигде (кроме, может быть, точки М) не обратится в нуль, т. е. нить нигде не будет смята. Если же в какой-нибудь точке где натяжение нити обратится в нуль, то иить перестанет удерживать груз и он будет продолжать движение как свободная точка (по параболе).

Для решения задачи найдем натяжение Т нити в произвольном положении определяемом углом , а затем потребуем, чтобы при любом угле было

В положении М на груз действуют сила Р и натяжение нити Т, Составив уравг нение (54) в проекции на внутреннюю нормаль получим

где v — скорость груза в положении М. Для определения v применяем теорему об изменении кинетической энергии:

В данном случае и, следовательно,

Подставив это значение в уравнение (а) и вычислив получим

Наименьшее значение Т будет иметь при

Чтобы Т нигде (кроме, может быть, точки ) не обратилось в нуль, необходимо, чтобы было Отсюда

Рис. 245

Следовательно, наименьшая начальная скорость, при которой груз будет описывать полную окружность, определяется равенством

Допустим, что вместо нити груз будет подвешен на жестком легком (невесомом) стержне длины l. В этом случай (так как стержень. в отличие от нити может работать и на растяжение, и на сжатие), груз опишет полную окружность, если при движении его скорость нигде (кроме, может быть, точки. М) обратится в нуль. Применяя уравнение (52) для перемещения и считая в точке М скорость получим . Отсюда следует, что в данном случае