§ 65. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совершает за промежуток времени вдоль траектории АВ относительное перемещение, определяемое вектором ММ (рис. 183, а).

Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение Одновременно та точка кривой АВ, с которой в момент времени t совпадает точка М, совершит переносное перемещение . В результате точка М придет в положение и совершит за время абсолютное перемещение . Из векторного треугольника имеем

Деля обе части этого равенства на и переходя к пределу, получим

Но, по определению,

Рис. 183

Что касается последнего слагаемого, то, так как при О кривая стремится к совпадению с кривой АВ, в пределе

В результате находим, что

Направлены векторы по касательным к соответствующим траекториям (рис. 183, б).

Таким образом, мы доказали следующую теорему о сложении скоростей: при. сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Построенная на рис. 183, б фигура называется параллелограммом скоростей.

Если угол между векторами равен то по модулю

Рассмотрим примеры решения задач.

Задача 73. Точка М движется вдоль прямой ОА со скоростью и (рис. 184), а сама прямая вращается в плоскости центра О с угловой скоростью . Определить скорость точки М относительно осей в зависимости от расстояния

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, состоящее из относительного движения вдоль прямой ОА и движения вместе с этой прямой. Тогда скорость и, направленная вдоль ОА, будет относительной скоростью точки.

Рис. 184

Рис. 185

Вращательное движение прямой ОА вокруг центра О является для точки М переносным движением, а скорость той точки прямой ОА, с которой в данный момент времени совпадает точка М, будет ее переносной скоростью . Так как эта точка прямой движется по окружности радиуса , то по модулю и направлена перпендикулярно От. Строя на векторах и и ипер параллелограмм, найдем абсолютную скорость точки М по отношению к осям Так как взаимно перпендикулярны, то по модулю

Задача 74. Рычажок ОМ самопишущего прибора образует в данной момент времени угол а с горизонтальной плоскостью, а перо имеет скорость v, направленную перпепдикулярно ОМ (рис. 185). Барабан с бумагой вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со. Определить скорость и перемещения пера по бумаге, если радиус барабана

Решение. Нам известна абсолютная скорость пера Скорость о можно рассматривать как геометрическую сумму скорости пера относительно бумаги (это искомая скорость и) переносной скорости , равной скорости той точки которой в данный момент времени касается перо; модулю

На основании теоремы о сложении скоростей откуда —

Строя на векторах параллелограмм, найдем искомую скорость . Так как угол между равен , то по модулю

Угол, который скорость и образует с направлением , можно теперь найти по теореме синусов.

Задача 75. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 186) кривошип ОА длиной вращается с угловой скоростью Длина шатуна А В равна I. При данном угле определить скорость ползуна относительно кривошипа ОА. Найти также абсолютную скорость ползуна.

Решение. Ползун движется поступательно и его скорость равна скорости точки В, принадлежащей одновременно шатуну АВ. Следовательно, решение задачи сводится к определению скорости точки В шатуна.

Относительное движение шатуна АВ по отношению к кривошипу О А представляет собой вращение вокруг шарнира А. Точка В при этом вращении описывает окружность радиуса следовательно, относительная скорость точки В по отношению к кривошипу направлена перпендикулярно АВ. Заметим еще, что абсолютная скорость точки В направлена вдоль ВО.

Переносным для точки В является движение кривошипа ОА. Представим себе, что с кривошипом жестко связан треугольник ОАВ, вращающийся вместе с кривошипом вокруг оси О с угловой скоростью со (как на рис. 151 со стержнем AD был связан лист фанеры ). Тогда скорость точки В треугольника ОАВ, совпадающая в данный момент времени с точкой В шатуна АВ, будет переносной скоростью точки В шатуна. Эта точка треугольника движется по окружности радиуса ОВ. Следовательно, скорость ипер направлена перпендикулярно ОВ и численно равна Так как то

Строим из векторов ипер и соответствующий параллелограмм. Из него видно, что

Исключим отсюда угол . Из треугольника ОАВ находим, что Тогда и окончательно значение искомой относительной скорости

Для определения абсолютной скорости точки В обратимся опять к параллелограмму скоростей. Из него . Учитывая, что получим из равенства (а) для то же значение, которое другим путем было найдено в задаче 63 (см. § 57) и обозначено там

В частном случае, когда получается

Рис. 186

Рис. 187

Задача 76. Конец В горизонтального стержня А В шарнирно соединен С ползуном, скользящим вдоль прорези кулисы ОС и заставляющим последнюю вращаться вокруг оси О (рис. 187). Расстояние оси О от стержня АВ равно h. Определить угловую скорость кулисы в зависимости от скорости v стержня и угла

Решение. Нам известна абсолютная скорость ползуна, равная скорости о стержня.

Эту скорость ползуна можно рассматривать как слагающуюся из относительной скорости скольжения ползуна вдоль прорезн кулисы и переносной скорости равной скорости той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Направления этих скоростей известны скорость направлена вдоль ОВ, скорость перпендикулярно ОВ. Тогда, разлагая заданную скорость v по направлениям , найдем эти скорости. Из параллелограмма видно, что по модулю

Но, с другой стороны, переносная скорость где — угловая скорость кулисы. Сравнивая эти два значения найдем угловую скорость кулисы