§ 47. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Когда точка движется все время в одной и той же плоскости, ее положение можно определять полярными координатами (рис. 130). При движении точки эти координаты с течением времени изменяются. Следовательно, закон движения точки в полярных координатах будет задаваться уравнениями:

Скорость точки численно равна т. е. отношению элементарного перемещения к промежутку времени . В данном случае перемещение геометрически слагается из радиального перемещения, численно равного и поперечного перемещения, перпендикулярного радиусу ОМ и численно равного Следовательно, сама скорость v будет геометрически слагаться из радиальной скорости и поперечной скорости , численно равных

Так как взаимно перпендикулярны, то по модулю

Формулы (32) и (33) определяют скорость точки в полярных координатах при плоском движении.

Рис. 130

Равенство (33) можно еще получить, выразив через и декартовы координаты точки в виде (рис. 130):

Тогда и по формуле (13)

Таким же путем, вычислив и у, можно по формуле (15) найти выражение для ускорения точки в полярных координатах

При этом величина, стоящая иод знаком радикала в первых скобках, равна а во вторых скобках равна а.