§ 40. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если движение задано уравнениями (3) или (4). Вопрос об определении траектории в этом случае был уже рассмотрен в § 37.

Формулы (8) и (10), определяющие значения v и а, содержат производные по времени от векторов . В равенствах, содержащих производные от векторов, переход к зависимостям между проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, т. е.

1. Определение скорости точки. Вектор скорости точки Отсюда на основании формул (И), учитывая, что найдем:

или

где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат течки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е. углы , которые вектор v образует с координатными осями) по формулам

2. Определение ускорения точки. Вектор ускорения точки Отсюда на основании формул (11) получаем:

или

т. e. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

где — углы, образуемые вектором ускорения с коорди осями.

Итак, если движение точки задано в декартовых прямоугольных координатах уравнениями (3) или (4), то скорость точки определяется по формулам (12) и (13), а ускорение — по формулам (14) и (15). При этом в случае движения, происходящего в одной плоскости, во всех формулах должна быть отброшена проекция на ось

В случае же прямолинейного движения, которое задается одним уравнением будет

Равенства (16) и определяют значения скорости и ускорения точки в этом случае.