§ 116. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ ГЛАВНОГО МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ)

Теорема моментов, доказанная для одной материальной точки (см. § 85), будет справедлива для каждой из точек системы. Следовательно, если рассмотреть точку системы с массой имеющую скорость то для нее будет

где — равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на данную точку.

Составляя такие уравнения для всех точек системы и складывая их почленно, получим

Но последняя сумма по свойству внутренних сил системы равна нулю. Тогда, учитывая равенство (30), найдем окончательно

Полученное уравнение выражает следующую теорему моментов для системы: производная повремени от главного момента количеств движения системы относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра

Проектируя обе части равенства (35) на неподвижные оси , получим:

Уравнения (36) выражают теорему моментов относительно любой неподвижной оси.

Доказанной теоремой широко пользуются при изучении вращательного движения тела, а также в теории гироскопа и в теории удара. Но значение теоремы этим не ограничивается. В кинематике было показано, что движение твердого тела в общем случае слагается из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Если за полюс выбрать центр масс, то поступательная часть движения тела может быть изучена с помощью теоремы о движении центра масс, а вращательная — с помощью теоремы моментов. Это показывает важность теоремы для изучения движения свободного тела (летящий самолет, снаряд, ракета; см. § 132) и, в частности, для изучения плоскопараллельного движения (см. § 130).

Практическая ценность теоремы моментов состоит еще в том, что она, аналогично теореме об изменении количества движения, позволяет при изучении вращательного движения системы исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы.

Рис. 296

Теорема моментов относительно центра масс. Чтобы применять теорему моментов к изучению плоскопараллельного движения или движения свободного твердого тела, надо найти выражение этой теоремы для движения системы относительно центра масс. Пусть — неподвижные оси, по отношению к которым движется рассматриваемая механическая система, a — оси перемещающиеся поступательно вместе с центром масс С этой системы (рис. 296), при этом оси имеют ускорение равное ускорению центра масс. В § 91 было показано, что все уравнения динамики можно составлять в осях так же, как в неподвижных, если к действующим на каждую из точек системы силам прибавить переносную силу инерции (кориолисовы силы инерции в данном случае равны нулю, так как оси движутся поступательно). Следовательно, уравнение (35) в осях примет вид

(37)

поскольку сумма моментов внутренних сил относительно любого центра равна нулю. При этом величина вычисляется по формуле

где — скорости точек системы по отношению к осям

Найдем значение последней суммы в равенстве (37). По определению, Так как оси движутся поступательно, то для любой из точек системы следовательно, Тогда, вынося общий множитель за скобки и учитывая, что по формуле (Г) получим

так как точка С является в системе осей началом координат и . В результате равенство (37) дает

Сравнивая этот результат с уравнением (35), приходим к выводу, что для осей, движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

Точно так же для моментов относительно осей из (38) получаются уравнения, аналогичные уравнениям (36).

Заметим, что в любой другой подвижной системе отсчета будет или или не будут равны нулю кориолисовы силы инерции и уравнение моментов не будет иметь вид, совпадающий с (35).