§ 15. ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ

Результат, полученный в § 12, справедлив, конечно, и в частном случае плоской системы сил. Следовательно, плоская система сил тоже приводится к силе, равной R и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом но сила и пара лежат в данном случае в одной плоскости — в плоскости действия сил (рис. 47, а, где пара изображена дуговой стрелкой). Значения главного вектора R и главного момента даются формулами (21) и (22); при этом вектор R можно определить или геометрически построением силового многоугольника (§ 4), или аналитически по формулам (10) из § 5. Таким образом, для плоской системы сил

где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.

Рис. 47

Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и

1. Если для данной системы сил то она приводится к одной паре с моментом Как показано в конце § 12, значение в этом случае не зависит от выбора центра О.

2. Если для данной системы сил то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:

а) . В этом случае система, что сразу видно, приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О;

б) . В этом случае пару с моментом можно изобразить двумя силами R и беря (рис. 47, б). При этом, если — плечо пары, то должно быть

Отбросив теперь силы R и как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние должно удовлетворять равенству (28); 2) знак момента относительно центра О силы R, приложенной в точке С, т. е. знак должен совпадать со знаком

Пример подобного расчета дан в задаче 17.

Таким образом, плоская система сил, не находящаяся в равновесии, может быть окончательно приведена или к одной силе, т. е. к равнодействующей (когда ), или к паре сил (когда ).

Задача 14. Привести к центру О систему сил изображенных на рис. 48, если

Рис. 48

Рис. 49

Решение. Задача сводится к нахождению главного вектора R заданной системы сил, который будем определять по его проекциям и главного момента этих сил относительно центра О. Проводя оси так, как показано на рисунке, и пользуясь формулами (27), получим (см. пример вычисления моментов сил в § 14):

Подставляя сюда числовые значения сил, найдем, что — Таким образом, заданная система сил приводится к приложенной в центре приведения О силе R с проекциями ) и паре сил с моментом

Рис. 50

Рис. 51

Задача 15. Привести к простейшему виду систему сил действующих на балку АВ (рис. 49), и найти силы давления на опоры А и В, если

Решение. Многоугольник, построенный из сил замкнут; следовательно, . Сумма моментов всех сил относительно любой точки (например, точки С) равна Следовательно, данная система сил приводится к паре С моментом Располагая эту пару так, как показано на чертеже пунктиром, заключаем, что силы оказывают на опоры давления численно равные ,

Задача 16. Привести к простейшему виду систему сил действующих ферму АВ (рис. 50), и иайти силы давления на опоры А к В, если

Решение. Замечая, что силы образуют пару, перемещаем ее в положение, показанное на чертеже пунктиром. Тогда силы взаимно уравновешиваются и вся система сил приводится к равнодействующей (численно ).

Отсюда заключаем, что действие сил сводится к вертикальному дав лению на опору А; опора В при этом не нагружена.

Задача 17. Привести к простейшему виду систему сил, рассмотренную в задаче 14 (см. рис. 48).

Решение. Из результатов, полученных в задаче 14, следует, что данная система сил приводится к приложенной в точке О силе R, направленной так, как показано на рис. 51, и паре с моментом . При этом численно Представим пару силами приложив силу R" в точке О, a R в точке С, причем, согласно формуле Отбрасывая силы R и найдем, что рассматриваемая система сил приводится к равнодействующей, равной R, линия действия которой проходит на расстоянии от точки О (через точку С с координатами ).