§ 54. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

В § 52 было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюса А, и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям радиусом-вектором (рис. 146), где — радиус-вектор полюса — вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда

В полученном равенстве величина есть скорость полюса ; величина же равна скорости которую точка М получает при т. е. относительно осей или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А. Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

При этом скорость которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А, будет (см. § 51):

где — угловая скорость фигуры.

Рис. 146

Рис. 147

Рис. 148

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением, соответствующего параллелограмма (рис. 147).

Задача 58. Найти скорость точки М обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения (рис. 148), если скорость центра С колеса равна а угол

Решение. Приняв точку С, скорость которой известна, за полюс, найдем, что где и по модулю — радиус колеса). Значение угловой скорости со найдем из условия того, что точка К. колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент времени . С другой стороны, так же как и для точки где Так как для точки К скорости направлены вдоль одной прямой, то при откуда . В результате находим, что

Параллелограмм, построенный на векторах будет при этом ромбом. Угол между равен так как стороны, образующие этот угол и угол , взаимно перепендикулярны. В свою очередь угол как центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол а. Тогда по свойствам ромба углы между и между тоже равны а. Окончательно, так как диагонали ромба взаимно перепендикулярны, получим

Расчет, как видим, оказывается достаточно громоздким. В дальнейшем мы познакомимся с методами, позволяющими решать аналогичные задачи гораздо проще (см. задачу 61 в § 57).